多解问题的分类

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在中考试题中，多解问题是一类常见而重要的问题.这类问题不一定最难，却是最容易失分的.解决这类问题要多角度、全方位、深层次地思考，慎防漏解.下面以2012年中考试题为例，对常见的多解问题加以归类解析，供你复习时参考.

一、与距离有关的多解

例1 （2012年济宁卷）在数轴上到原点的距离等于2的点所表示的数是（ ）.

A.-2 B.2 C.±2 D. 不能确定

解：在数轴上，有两点到原点的距离等于2，所表示的数分别是-2和2.选C.

温馨小提示：在数轴上，数和点一一对应，要注意利用数形结合思想解题. 数轴上两点x1，x2，则它们之间的距离为|x1-x2|.

例2 （2011年沈阳卷）在平面直角坐标系中，若点M（-1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是 .

解：由于点M与点N的纵坐标相同，而它们的距离是5，所以 |x-（-1）|=5，解得x=4或-6.

温馨小提示：设A、B两点坐标分别为（x1， y1） 、（x2，y2），若纵坐标相同，则A、B两点的距离为|x1-x2|；若横坐标相同，则A、B两点的距离为|y1-y2|.

二、与程序有关的多解

例3 （2011年浙江卷）某计算程序如图1所示，当输入x= 时，输出的y=3.

分析：求x的值，要分两种情况讨论.由3x+5=3，解得x=-，因为-

温馨小提示：要注意分情况讨论，并验证结果是否符合题设要求.

三、与函数有关的多解

例4 （2012年宜宾卷）如图2，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3），B（-4，0）.

（1）求经过点C的反比例函数的解析式；

（2）设P是（1）中所求函数图像上一点，以P、O、A为顶点的三角形面积与COD的面积相等，求点P的坐标.

解：（1）由题意知，OA=3，OB=4.

在RtAOB中，AB==5.

四边形ABCD为菱形，

AD=BC=AB=5，C（-4，-5）.

设经过点C的反比例函数的解析式为y=.

=-5，即k=20.

y=.

（2）设P（x，y），AD=AB=5，OA=3，

OD=2，SCOD=×2×4=4.

即·OA·|x|=4，|x|=，即x=±.

当x=时，y=；

当x=-时，y=-.

P（，）或（-，-）.

温馨小提示：在解函数与面积相结合的问题时，点的横、纵坐标的绝对值往往可以构成三角形的高，这是解题的常用手段.

四、与等腰三角形有关的多解

例5 （2012年济宁卷）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是（ ）.

A.15cm B.16cm C.17cm D.16cm或17cm

解：当底边长是5cm时，腰长是6cm，此时周长是17cm；当底边长是6cm时，腰长是5cm，此时周长是16cm.选D.

温馨小提示：当已知等腰三角形的两边长时，要分情况讨论，注意三边长是否能构成三角形.

例6 （2012年安顺卷）如图3，O为坐标原点，四边形OABC为矩形， A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 .

解：因OA=10，D为OA中点，所以OD=5.

如图4，当P1O=5时，OC=4，可得P1C=3，因此，P1（3，4）；

如图5，当P2D=5时，P2E=4，DE=3，所以，OE=OD-DE=5-3=2，因此，P2（2，4）；

如图6，当P3D=5时，P3E=4，可得DE=3，所以，OE=OD+DE=5+3=8，因此，P3（8，4）.

因此，满足要求的P点坐标是（3，4）或（2，4）或（8，4）.

温馨小提示：根据题目的条件画出所有可能的图形，然后逐一进行计算.

五、与相似有关的多解

例7 （2012年牡丹江卷）在ABC中，AB=6，AC=9，点D在边AB所在的直线上，且AD=2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为 .

分析：当D点在AB边上时，如图7，由DE//BC，知=，因为AD=2，AB=6，AC=9，所以AE=3.所以EC=6.

当D点在BA的延长线上时，如图8，可求得CE的长为12.

故填6或12.

温馨小提示：考查了相似三角形的判定与性质，因D在AB所在的直线上有两种情况，所以需分情况讨论.

六、与面积有关的多解

例8 （2011年绥化卷）已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为 cm2.

解：（1）当30cm的边所对的角为锐角时，如图9中的ABC1.

第三边BC1=+=20+10，

SABC=（20+10）·10=100+50（cm2）；

（2）当30cm的边所对的角是钝角时，如图9中的ABC2.

BC2=20-10，SABC=100-50（cm2）.

温馨小提示：要分钝角三角形和锐角三角形讨论.

七、与平行四边形有关的多解

例9 （2012年乐平卷）在平面直角坐标系中，已知A（1，0）、B（-1，-2）、C（2，-2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是 .（填序号，多填或填错得0分，少填酌情给分）

①（-2，0） ②（0，-4） ③（4，0） ④（1，-4）

解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法，将其中的一边沿着与它相交的边平移，可找到点D，共有三种情况，点D坐标分别为：（-2，0）；（0，-4）；（4，0）. 另外，也可验证各点的坐标能否构成平行四边形. 填①②③.

温馨小提示：将四个选项的坐标分别在坐标系内描出，然后连成四边形，能构成平行四边形的点即符合条件.

八、与圆有关的多解

例10 （2011年凉山卷）如图11，∠AOB=100°，点C在☉O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（ ）.

A.50° B.80°或50°

C.130° D.50°或130°

解：当点C在优弧AB上时，∠ACB=∠AOB=×100°=50°；当点C在劣弧AB上时，∠ACB= （360°-∠AOB）=（360°-100°）=130°.选D.

温馨小提示：圆周角定理及圆内接四边形的性质是基础知识，要熟练掌握. 解这类题要注意分类讨论，慎防漏解.

例11 （2012年茂名卷）如图12，☉O1、☉O2内切于点A，其半径分别是8和4，将☉O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移动的长度是（ ）.

A.4 B.8 C.16 D.8 或16

解：平移分向左平移与向右平移两种.当向右平移时，点O2移动的长度是2O2A=8；当向左平移时，点O2移动的长度是（8+4）+4=16. 选D.

温馨小提示：两圆内切，圆心距等于两圆的半径之差；两圆外切，圆心距等于两圆的半径之和.没有明确运动方向时要分类讨论.