浅谈关于方程(组)、不等式(组)、函数等初中数学模型的教学及应用

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摘 要：从四个方面：代数式是建模的基础；理解方程思想，体会方程建模；理解不等量关系，体会不等式建模；理解函数思想，体会函数建模等来谈初中数学模型的教学应用。

关键词：对译；方程；不等式；函数建模

数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，随着时代的不断发展和数学教学改革的深入，更加重视数学知识与现实生活的联系，发展学生的数学应用意识和应用能力，已成为数学教育发展的趋势。这在《义务教育数学课程标准》（2011年版）中也有十分明确的要求。对于初中阶段的学生而言，方程、不等式、函数等三大数学模型的建立和应用，必将对学生学好“数与代数”这一部分起到非常重要的作用，当然，这也是教学的重点和难点。本文谈谈在应用题的教学过程中，如何渗透以上三大数学建模思想和思维过程，以帮助学生步入数学模型的世界。

一、学会用字母表示数，能写出正确的代数式是建模的基础

分析：路程=速度×时间，所以，易得答案分别是40x，60x。

数量关系式是解决方程、不等式、函数问题的起点，如果没有这个起点，接下来的所有问题都无法解决。所以，作为具有“公理”意义的数量关系式，必须让学生明确其中之“理”，并牢牢记住。这一点无论如何强调都不为过。有经验的老师都会不惜时间和精力在起点上大做文章。

二、方程（组）建模：理解方程思想，体会方程建模过程

问题2：在问题1中，如果两车同时出发，相向而行，相遇时共行了1000千米，问相遇时间是多少？设两车同时出发，x小时相遇。由等式：甲行的路程+乙行的路程=总路程，易得一元一次方程：40x+60x=1000。

由此可见，理解方程思想，特别是已知条件和求解对象之间的关系，体会方程建模过程，可以通过以下程序完成：

1.选择问题中适当的未知量设为未知数（用字母表示数），

2.把与未知数相关联的未知量用所设未知数的代数式表示出来；

3.找出问题中的等量关系，把等式中数量名词与对应的代数式进行“对译”即可得到方程（组）。

举例说明：

问题3：鸡兔同笼：鸡兔40只，腿共100条，鸡、兔各几只？

分析：由题意可得两个等量关系：

鸡的只数+兔的只数=鸡兔总只数，

鸡腿条数+兔腿条数=鸡兔腿总条数。

方程思想和方程思想指导下的方程建模，用方程模型思想解题是可以体会的，也是可以捉摸的。

三、不等式（组）建模：理解不等量关系，体会不等式

问题4：一个工程队原定在10天内至少要推土100 m3，在前两天一共完成了120 m3。由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务。问以后6天内平均至少要挖土多少m3？

解：设以后6天内平均每天要挖土x m3，则以后6天完成的工作量为6x m3。由题意可得，不等量关系式为：前两天的工作量+以后6天的工作量≥总工作量。前两天的工作量、以后6天完成的工作量、总工作量根据题意分别“译成”120，6x，600，则得一元一次不等式：120+6x≥600。

不等式组的建模和不等式的建模道理是完全一致的，此不赘说。

由此可见，方程（组）模型与不等式（组）模型的建模和应用非常相似。不同之处是，方程是找出题中的等量关系式，不等式是找出题中的不等量关系式。

四、函数建模：理解函数思想，从变量角度看字母，体会函数建模思维过程

函数是数学中重要的基本概念之一，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，它是解决最大（小）值问题的重要方法，也是一种重要的数学思想。有了方程和不等式建模的基础，那么函数建模（这里指函数解析法）可以说是水到渠成。下面举例说明。

问题5：用一长200 cm的铁丝正好围成一个矩形，矩形的相邻两边和面积分别用x cm、y cm与S cm2表示。问x取何值时，矩形面积最大？由矩形周长公式可得到二元一次方程：2（x+y）=100，变形得y=-x+100。从变量角度看y随x的增大而减小，是一次函数。

由上面的变化可以看出方程建模与函数建模相互关联，方程建模是函数建模的基础和关键。从变量角度看二元方程中的两个未知数，只要方程中的一个未知数（如x）的取值与另一个未知数（如y）的取值形成单值对应关系，就可把方程变成y关于自变量x函数关系式。

综合以上情况，方程、不等式、函数的建模及应用就是在字母表示数的基础上，通过“等量代换”方式，对数量关系式（包括等量或不等量关系式）中的数量名词与对应代数式进行“对译”、变形，由具体到抽象、由简单到复杂、由静态到动态、由易到难渐进完成的。方程、不等式、函数三大数学模型是应用数学方法解决实际问题的重要手段。

（作者单位 山西省沁源县太岳中学）