带卵形曲线的组合曲线的坐标计算

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摘要:以攀枝花至田房高速公路E8合同段线路组合曲线为例，介绍带卵形曲线的组合曲线坐标计算的公式和方法）

关键词:卵形曲线;组合曲线;坐标计算

中图分类号：U213.2+3文献标识码： A

1、前言

随着我国公路主骨架的初步形成，今后几年乃至十几年，我国公路建设的重点将转移到市县一级的交通网络上，地形复杂、展线较困难的山区将是公路建设的主战场，在线路的平面设计上，将越来越多的采用卵形曲线设计；同时高速公路的连接线和匝道的线路平面设计也经常采用卵形曲线过渡，而带卵形曲线的组合曲线的坐标计算是现阶段工程技术人员面临的一个难题。

2、工程概述

攀枝花至田房高速公路是交通部规划建设的八条西部大通道之一—兰州～成都～昆明～磨憨公路四川境内的末端，在E8合同段与E9合同段的交接地段，由于地形限制和展线的需要，在K209+129.417～K210+875.768段为一两同向圆曲线以一回旋曲线相连的卵形曲线，曲线要素及主点里程坐标见图1：

图1 组合曲线资料

3、组合曲线结构分析

卵形曲线是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大或无穷小方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

本例中的K209+800.477～K209+957.884段，就是经复原后的曲线组合图2中的缓和曲线ZH‘～HY中的一段。

图2 还原的曲线图

所以该组合曲线的结构为：缓和曲线+圆曲线+卵形曲线+圆曲线+缓和曲线的组合。

4、缓和曲线及圆曲线任意点的坐标计算

根据对组合曲线的结构分析可知，卵形曲线两端的圆曲线、缓和曲线，实际就是两个标准的缓和曲线+圆曲线的曲线组合一端去掉一个缓和曲线，所以计算这两个组合曲线上的任意点坐标的思路就是：将组合曲线拆分为两个已知圆曲线和缓和曲线长度的标准组合曲线，如图3、图4，分别计算其坐标。

图3 标准组合曲线一

图4标准组合曲线二

以图3组合曲线为例，已知条件有：

缓和曲线Ls=225m

圆曲线半径R=1000m

圆曲线长度Ly=446.06m

根据圆曲线长度及弦切角计算公式找出YH点的切线方向，再根据缓和曲线的偏角法和切线支距法公式计算出HZ点的弦长及偏角，从而定出HZ点和曲线组合的第二条切线，最后计算出转角，采用该办法可以将本例中ZH～YH1段曲线恢复成图3中的ZH～YH段曲线：

根据恢复的组合曲线的各项曲线要素，按照切线支距法的公式即可计算出曲线任意点在独立坐标系内的坐标，进而转化成大地坐标。

5、卵形曲线坐标计算

根据现场已知条件和现场测设的需要，卵形曲线的坐标计算方法有以下两种：

①、正向计算，即从大半径到小半径。

②、逆向计算，即从小半径到大半径。

①、正向计算

当由本例中YH1（K209+800.471）向HY1（K209+354.417）方向计算时，根据卵形曲线参数公式：

C=R1×R2×（HY2-YH1）÷（R1-R2）公式（1）

计算得该卵形曲线参数为：C=639998.2553

缓和曲线曲率从∞到曲率为R1=1000m（即K209+800.471处）的长度：m=C÷R1=639.9982m 公式（2）

缓和曲线的总长为：

Ls=639.9982+957.884-800.477=797.4052m

得出ZH＇点的里程为K209+160.4788

根据K209+129.417～K209+957.884段的线路曲线资料，以及计算的缓和曲线长度，建立以ZH＇点为原点的独立坐标系X1-01-Y1，根据标准组合曲线计算的HY1和YH1的坐标，通过坐标反算，建立以YH1为坐标原点的大地坐标系X-0-Y，见图5。

图5 正向计算图

由图（5）可知,计算K209+800.477～K209+957.884段大地坐标关键在计算YH1、所求点在X1-O1-Y1坐标系中的坐标和α、β、γ三个角度，然后通过坐标转换计算出所求点的大地坐标。

用缓和曲线切线支距法公式计算，缓和曲线的坐标为:

X=L-L5÷[40（RLS）2]+ L9÷[3456（RLS）4]- L13÷[599040（RLS）6]+ L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] (公式3)

Y=L÷[6（RLS）]- L7÷[336（RLS）3]+ L11÷[42240（RLS）5]-L15÷[9676800（RLS）7]+ L19÷[3530096640（RLS）9]- L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] (公式4)

公式中符号的含义：

L-计算点到缓和曲线起点的弧长

R-圆曲线半径

Ls-缓和曲线长

为满足小半径的缓和曲线的计算精度，n的取值为5， K209+900和K209+800.477在独立坐标系内的相对坐标为：

K209+900（726.1348，103.9573）

K209+800.477（633.4757，67.7686）

YH1至K209+900的弦线长度为：

S=√（（X- XYH1）2+（Y- YYH1）2）=99.4753m

δ=30(Lf-Lt)( Lf+2Lt)/π/R/LS (度)(公式5)

式中Lf为自缓和曲线起点(ZH)至观测点的距离

Lt为自缓和曲线起点(ZH)至置镜点的距离

LS为缓和曲线长度

图5中δ=2°59′50.53″

当曲线为右转时δ为正值，当曲线为左转时δ为负值。

用坐标反算及弦切角的计算方法,可得:

γ=12°46′43.24″

β=34°49′23.9″

α=β+γ=47°36′07.14″

弦线的坐标方位角为:

θ=α+δ+90=140°35′57.67″

K209+900的大地坐标为:

X=902487.8604+cosθ×99.4753=902410.9932

Y=480711.8039+ sinθ×99.4753=480774.9448

②、逆向计算

当由本例中HY2（K209+957.884）向YH1（K209+800.477）即大半径方向计算时,计算图解见图6:

图6 逆向计算图

根据公式（1）（2）计算出包括卵形曲线在内的缓和曲线总长为：

Ls=639.9982+957.884-800.477=797.4052m

采用标准组合曲线任意点坐标的计算方法，计算出圆曲线（K209+957.884～K210+706.268）段任意点的大地坐标，例如：

HY2 K209+957.884（902363.174，480807.543）

K210+700（901650.855，480879.659）

根据两点的坐标以及圆曲线资料，可计算出弦切角及弦线的坐标方位角为：

δ=26°29′20.22″

θ=174°13′8.42″

由此可以HY2为坐标原点，建立大地坐标系，大地坐标系的正北方向与切线的夹角为：

β=180-（θ-δ）=32°16′11.8″

以恢复的缓和曲线ZH′为原点，以ZH′的切线方向为X1轴，以切线的垂直方向为Y1轴，建立相对坐标系，根据公式（3）、公式（4）分别计算出K209+900、HY2（K209+957.884）点的相对坐标为：

K209+900（726.1348，103.9573）

K209+957.884（777.9509，129.7313）

K209+900～K209+957.884的弦长为：

S=57.8723m

根据公式（5）计算出HY2（K209+957.884）处切线与K209+900～K209+957.884弦长的夹角为：

即α-β=2°0′52.48″

K209+900～K209+957.884弦线的坐标方位角为：

δ′=360-α=325°42′55.4″

K209+900的大地坐标为:

X=902363.174+cosδ′×57.8723=902410.991

Y=480807.543+ sinδ′×57.8274=480774.9433

计算结果与正向计算一致。

6、几点体会

①、在进行角度计算一定要注意曲线的转向，防止因转向错误而导致坐标方位角计算错误。

②、在进行组合曲线结构分析时，融入AUTOCAD绘图技术，按照主点的大地坐标进行绘图，使结果更加简单明了，并且曲线转向不会发生错误，可直接标注出角度和弦长等参数，根据AUTOCAD的查询命令，可直接查询出除缓和曲线外的任意点的大地坐标，采用AUTOCAD绘图技术，还可以复核在现场计算的各项数据的正确性。

③、由于在进行计算的过程中，将反复运用到较为繁杂计算公式，采用手工计算的方法烦琐且容易出错，将计算公式或计算过程编写成程序或公式写入CASIO系列计算器中，将大大的减少计算人员的工作量，且减少了因大量的输入参数而产生操作失误的几率。