不等式常见错例及成因剖析

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〔关键词〕 数学教学;不等式;错例;剖析

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004―0463（2014）20―0119―01

在高中数学教学阶段，不等式是形式上比较灵活，内容上比较丰富的一章节，同时也是学生作业中出现问题较多的章节.本文将学生作业中出现的常见错误及其成因，归纳分析如下.

一、对字母之间的联系缺乏足够的认识，使字母范围扩大

例1 已知函数f（x）=ax2+bx，满足1?f（-1）?2，2?f（1）?4，求f（-2）的范围.

错解： 由f（x）=ax2+bx，得1?a-b?2 （1）

2?a+b?4 （2）

由（1）+（2）得3?2a?6.

由（2）-（1），得1?2b?2，

又由f（-2）=4a-2b，所以

即4?f（-2）?11.

错因： 由于a与b是互相联系、相互制约的，在求解这类未知数相关联问题的范围时，多次使用不等式相加的性质，会导致所求变量的范围改变，出现错误.

正解： 由f（-1）=a-b，f（1）=a+b，

可设f（-2）=mf（-1）+nf（1），则m（a-b）+n（a+b）=4a-2b，

m+n=4

-m+n=-2?m=3

n=1f（-2）=3f（-1）+f（1），

1?f（-1）?2，2?f（1）?4，

5?f（-2）?10.

二、对一元二次不等式中二次项系数的符号缺乏足够的重视，不能做到准确无误

例2 已知不等式ax2+bx+c?0的解集为x

|-?x?2，则不等式cx2+bx+a<0的解集为（ ）

A.x|-2

B.x|x<-2或x>

C.x|-3

D.x|x<-3或x>

错解： 由题意知，-、2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，因此由根与系数的关系得-+2=-，（-）×2=，b=-a，c=-a.

不等式cx2+bx+a<0可化为-ax2-ax+a<0，

即x2+x-1>0，解得x<-3或x>，故选D.

错因： 由于对一元二次不等式解集的意义理解不够，故忽视了对a、b、c符号的判断.根据给出的解集，除知道-和2是方程ax2+bx+c=0的两根外，还应知道a<0，然后通过根与系数的关系进一步求解.

正解： 由于不等式ax2+bx+c?0的解集为x

|-?x?2，可知a<0，且-、2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，

-+2=-，（-）×2=，b=-a，c=-a.

不等式cx2+bx+a<0可化为-ax2-ax+a<0.

a<0，x2+x-1<0，解得-3

所求解集为x|-3

，选C.

三、对基本不等式中结论成立的条件，缺乏足够的重视，导致结果不正确

例3 求函数y=的最值.

错解： y===13+x+?13+2=25，当且仅当x=，即x=±6时取等号，所以当x=±6时，y的最小值为25，此函数没有最大值.

错因： 上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件两个数都应大于零，因而导致错误.因为函数y=的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），所以必须对x的正负加以分类讨论.

正解： （1）当x>0时，y=13+x+?13+2=25，当且仅当x=，即x=6时取等号.所以当x=6时，ymin=25.

（2）当x<0时，-x>0，->0，（-x）+

-?2=12，

y=13-（-x）+

-?13-12=1.当且仅当-x=-，即x=-6时取等号.所以当x=-6时，ymax=13-12=1.