化曲为直剖解蚂蚁爬行

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蚂蚁从圆锥下底面的一点要爬到与之相对应的上底面的一点，且要求所走的路线最短，看上去是一个曲面上的问题，但实际上可通过将圆锥的侧面展开,转化为平面上的路线问题,

这种化曲为直的方法是解决此类问题的主要策略，现举例说明.

例1.如图1所示,已知圆锥底面半径为2cm,母线长为8cm,一只蚂蚁从点A出发绕圆锥侧面一周到PA的中点C,求这只蜘蛛在圆锥侧面上从A点到C点的最短距离.

思考:这只蚂蚁在圆锥侧面上从A点到C点的最短距离为: 如图2,圆锥侧面展开图扇形PAE中,点A和PE中点C之间的距离,即线段AC的长度. 设扇形的圆心角为 度,

弧长AE= , ,

, 由勾股定理得:AC=4 cm.

这只蜘蛛在圆锥侧面上从A点到C点的最短距离是4 cm.

例2．小明同学在与小敏同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长。

（1）如图2-(1)，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；

（2）如图2-(2)，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；

（3）如图2-(3)，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图2-(4)所示，且 ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 .

思考:（1）将正方体展开后如图2-(5)所示，

应该为最短线路。根据勾股定理可得,

.

（2）蚂蚁爬行线路分两种情况

①

②

,蚂蚁需要爬行的最短路程的长为 cm

（3）蚂蚁从圆锥的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A,最短的路程为圆锥的侧面展开图2-(6)中的线段 的长度.

, ,过O作 于

, ,

, = .

例3．如图3，一只蚂蚁欲爬一查3米高的树，树的直径为1米，若蚂蚁绕着树爬了三圈到达树顶，求蚂蚁爬行的最短距离.

思考:因树为圆柱形，蚂蚁在树

的表面上爬行，所以本题应该先分析

蚂蚁的爬行路线，将圆柱形展开，所

以蚂蚁的爬行路线;

如图4所示ACDB且AC=CD=BD,

从图中可以知道，AM为圆柱的底面圆的周长，CM的长为1，,所以蚂蚁行走的最短距离为

感悟：从蚂蚁爬行问题可以看出，应设法将空间图形转化为平面图形，将曲面转化为平面来研究解决问题.同时由一种图形想到多种图形，想到图形的变换,这在数学做题中才能事半功倍.

(指导老师：江苏省滨海县临淮初级中学 颜庭飞)