多思路解析一类不等式难点问题

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以二次函数为背景能产生许多不等式难点问题.在高考题中，这类问题往往是以压轴题的形式放在最后面，有时也在选择填空题中出现，其特点是难度较高、综合性较大.这就要求同学们须具有较高的能力来应对，当然，能力是通过我们平时的训练、通过我们日常的知识积累等慢慢培养出来的.我们所掌握的方法、技巧、思路越多就越能使我们克服这一难点.下面我们就以多种思维来解析一类以二次函数为背景的不等式难点问题.

例1 若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围.

分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含有f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．

解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是

1≤f(-1)≤2

3≤f(1)≤4

1≤a-b≤2

3≤a+b≤4

（1）

解法1:(利用基本不等式的性质)

不等式组(1)变形得

2≤2a-2b≤4

4≤2a≤6

6≤4a-2b≤10

6≤f(-2)≤10.

其中，等号分别在

a=2

b=1

与

a=3

b=1

时成立，且

a=2

b=1

与

a=3

b=1

满足（1），

所以f(-2)的取值范围是［6，10］．

解法2：(利用线性规划方法)

建立直角坐标系aOb，作出不等式组（1）（即线性约束条件）所表示的区域（即可行域），如图1中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b（即线性目标函数），所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图1，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．

解法3：(利用方程的思想)

因为f(1)=a+b

f(-1)=a-b

所以a=

12

［f(1)+f(-1)］

b=12

［f(1)-f(-1)］

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ①

所以3≤3f(-1)≤6． ②

①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．

说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：

将不等式组（1）变形得

4≤2a≤6

1≤2b≤3

2≤a≤3

12

≤b≤

32

，

而

f(-2)=4a-2b

，

又由 8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．

(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．

山东省利津县第一中学(257400)