从兵法之“形”,到几何之“形”

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孙子曰：“夫地形者，兵之助也。料敌制胜，计险隘远近，上将之道也。知此而用战者必胜，不知此而用战者必败。”可见，地形是用兵作战的辅助条件。解题不是作战，但同样需要智慧。“图形”不是“地形”，但几何教学的核心就是对图形的研究，教师作为解题的最高统帅，在这个过程中应该具备和将帅一样的英明智慧，高瞻远瞩，指导学生将图形中的每一个细小的条件都了然于胸，巧妙地利用已知条件对“图形”进行多方面、多角度的分析，才能攻克难题，以“形”制胜。笔者在几何教学中，尝试对“图形”的新视角进行挖掘，开启了学《孙子兵法》，悟几何教学中的“形”之路。

辨析“身份”，凸显基本图形

在军事上，不同的地域具有不同的优势。孙子用军事战略家的眼光对其进行考察，归纳为“通”“挂”“支”“隘”“险”“远”六种类型，并根据这些最基本的地形有针对性地提出了相应的作战方法，进而制定驻扎、进攻和防御方面的相关措施。

在几何问题中，不同的图形有着各自独特的性质。如四边形中，平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线相等且互相平分;同一图形在不同的图形背景中又发挥着独特的性质。如同样两个角，在等腰三角形中作为“底角”就相等;在同一直角三角形中是两“锐角”就有互余关系;在同圆中是“同弧所对的圆周角”就有相等关系。同样一条直径，在圆中也可以具有不同的身份而发挥自身的优势。所以，从不同角度关注同一图形，能打开学生思维，获得一题多解的解题方法。

例1 如图一，AB是O的直径， CDAB于E，求证：∠A=∠BCE。

辨“地形之隘”，伴“身份”发挥优势 图形中AB这条直径可谓“图形之隘”，它是解决此题的突破口。单从“直径”的身份，就能发挥“直径所对的圆周角是直角”的优势;从“垂直与弦的直径”的身份，就能发挥“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”的优势。

析“地形之异”，随“身份”巧择战法 从“直线形”的角度观察图形，可以发现∠A与∠BCE位于“母子相似”的基本图形中（如图二），它们是∠B的“余角的身份”，所以解法如下：

证明：AB是O的直径。

（直径所对的圆周角是直角）。

∠A+∠B=90°。

。

∠BCE+∠B=90°。

∠A=∠BCE（同角的余角相等）。

从“圆形”的角度观察图形，可以发现∠A与∠BCE位于“垂径定理”的基本图形中（如图三），∠A与∠BCE是“圆周角的身份”，所以解法如下：

证明：AB是O的直径，CDAB

=（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）。

∠A=∠BCE（同弧所对的圆周角相等）。

所以，我们在做几何题时，必须根据题意，结合图形，关注基本图形，特殊条件，考察线段、角在几何图形中所处的位置，辨析其“身份”，才能凸显基本图形，发挥图形的魅力。在此过程中，学生经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。

权衡“动静”，定位静态图形

地形千差万别，有高有低，有阴面有阳面，在交战的时候，那些高处朝阳的地方都是易守难攻之处，对交战有利的方面非常多。在考察地形的时候，一定要将其纳入考察重点，争取抢先占领这样一些有利的地形，胜利也许就不费吹灰之力了。

几何问题中，图形千变万化;而动态型几何问题，它以运动中的几何图形为载体，运动变化为主线，构建成综合题，它能把几何、函数、方程、不等式等知识集于一身，题型新颖、灵活性强，不少学生感觉动态型几何问题的图形高深莫测，无“利”可“图”。

教师在教学这类题型时，可适当地运用几何画板演示部分图形运动的详细过程，让学生通过画图、操作等形成动态联想，引导学生用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程，从“静”中能看到“动”，又从“动”中看到“静”，从而抓住其中的“静势”特性，定位“静态”图形，找到问题的突破口。

例2 （2014・常州）如图四，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），P与y轴相切于点O.若将P沿x轴向左平移，平移后得到P′（点P的对应点为点P′），当P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有（ ）。

（A）1个 （B） 2个

（C）3个 （D）4个

解决动点问题，首先要考察谁在动，谁没在动，明确动点的运动方向，然后通过权衡动态条件和静态条件之间的关系求解。

在动态图形中寻求特殊位置之“静” 本题中点A与点B不动，直线l也不动，P在动，P与直线l的位置关系也随之变化，但P沿x轴向左平移的运动过程中，经历了相离、相切、相交、再相交、相切、相离的全过程，可以找到由“动”到“静”的瞬间，那就是P′与直线l两次相切的情况。所以只要画出两次相切时的静态图形，此题就变成了一个静止问题。再重点考察相切时P′的圆心点P′的坐标，就能解决此题。

解法一：如图五所示。

点P的坐标为（1，0），P与y轴相切于点O。

P的半径是1。

若P与AB相切时，有d=r，设切点为D，由点A（3，0），点B（0，）。

OA=3，OB=，由三角函数的定义，得

∠BAO=30°。

P′DAB，P′D=1，又因为∠DA P′=30°。

AP′=2。

根据图形的对称性，所以点P′的坐标为（1，0）或（5，0）。

所以当P′与直线l相交时，横坐标为整数的点的横坐标可以是2，3，4共三个。故选：C。

在动态图形中寻求数量关系之“静” 本题中P是动圆，直线l是定直线，但不管P运动在x轴的哪个位置，也不管它与直线l位置关系的变化，圆心距DP′在运动变化过程中，始终保持着一个静态的数量关系，即，这是“静势”特征，我们只要抢占有利的静态条件，利用图形线段之间的关系，用参数表示出DP′，再利用“相交”满足的静态条件：d

解法二：如图六所示。

由题知（同上解法可知）：P的半径r=1，∠BAO=30°。

设点P′的坐标为（m，0），则圆心距

当点P′在点A右侧时，由d

当点P′在点A左侧时，由d-5;

-5

所以当P′与直线l相交时，横坐标为整数的点的横坐标可以是2，3，4共三个。故选：C。

正确认识和处理“地形”，并且能够借“地之助”去求“兵之利”，完全可以迁移到几何教学中，教师通过引导学生阅读已知、解读信息，对几何图形全方位审视、多角度联想，让学生开拓思路，层层深入，由表及里，就能把握关键图形，巧借“形之助”去求“题之利”，就能驾驭复杂的图形，出奇制胜。

【本文系苏州市教育科学“十二五”规划课题《借助孙子文化促进学生自我发展的实效性研究》的研究成果。】

（作者单位：江苏省苏州市吴中区藏书中学）