例析曲线运动中的追及相遇问题

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求解曲线类追及和相遇问题的关键在于分析题目；将物理模型还原出来，根据相应的模型所对应的物理规律求解. 在曲线运动的追及和相遇问题中不仅要注意位移和时间关系，还特别要注意转过的角度和周期性问题.

■ 1. 圆周运动物体和圆周运动物体的相遇

■ 例1 机械表中的分针与秒针可视为匀速圆周转动，分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为多少？

■ 解析 再次重合的条件是：在相同时间里秒针比分针多走一圈. 秒针旋转一周需60 s，周期T1=60 s，分针旋转一周需3 600 s，周期T2=3 600 s，设经过t第二次重合，则

■-■=1

解得：t=■ s.

此题也可以从重合时秒针比分针多走2π rad，即多转过的角度入手解决.

■ 2. 平抛运动物体与平抛运动物体的相遇

■ 例2 如图1所示，水平地面上有P、Q两点，A点和B点分别在P点和Q点的正上方，距离地面高度分别是h1和h2，某时刻在A点以速度v1水平抛出一小球，经时间t后又从B点以速度v2水平抛出另一球，结果两球同时落在P、Q连线上的O点，则有（ ）

A. ■ ∶ ■=v1h1 ∶ v2h2

B. ■ ∶ ■=v1h21 ∶ v2h22

C. ■ ∶ ■=v1■ ∶ v2■

D. h1-h2=gt2/2

■ 解析 此题符合相遇的基本条件：同时到达同一点. 所以应抓住两小球运动的独立性求解. 根据平抛运动规律得：

对小球1有：h1=■gt21，■=v1t1.

对小球2有：h2=■gt22，■=v2t2.

所以得：■ ∶ ■=v1■ ∶ v2■ .

答案C正确.

■ 3. 自由落体运动物体与圆周运动物体的相遇

■ 例3 一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动，杆最初处于水平位置，杆上距O为a处放有小物体（可视为质点），杆与其上小物体最初处于静止状态，如图2所示，若此杆突然以角速度ω绕O轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰？

■ 解析 两物体相遇的条件是：在相等的时间内，小物体自由下落的位移和杆转动引起的位置与B所在竖直线交点间的距离相等. 由图3可以看出，两者相碰必须是发生在杆转到D点之前. 若ω越小，则相遇点在线段BD上某点，小物体追上杆. 考虑到杆运动的周期性，当ω足够大时，杆可以转过一周后再次进入该区域，杆反过来追上小物体，所以本题分两种情况.

首先，设在第一周期内，小物体恰好在D点与板相碰，其位移：BD=■=■gt2，杆转过的角度θ=ω1t，

θ=arccos■.

联立以上各式得：

ω1=■■arccos■.

若ω≤ω1，则物体追上杆于线段BD上某点相遇.

其次，ω足够大时，杆转过一周后追上物体，设相遇点为D，则有：

θ=ω2 t=2π+arccos■.

解得：ω2=■■2π+arccos■.

若ω≥ω2，则杆转过一周后追上物体与之在线段BD上某点相遇.

综合得两者相遇的条件为：

ω≤ω1或ω≥ω2.