二次函数题

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一、中考启迪

二次函数角相等的“存在问题”知识涵盖面广，综合性强，考察能力高，具有相当的深度与难度，，广泛运用于中考的拉距与选拔题上。二次函数角相等“存在问题”的基本特征是在一定条件下一个角与已知角相等或互余的结论是否存在，常见叙述语言是“在二次函数的图像上是否存在-------使--------？如果存在，请求出-------点的坐标（或--------的解析式），如果不存在，请说明理由”。通常分两个大类解题，一类是由位置关系确定的“存在问题”，要找的是满足特殊位置关系方面的要求，如等腰三角形等边对等角。另一类是由数量关系确定的“存在性问题”，要求找一个特殊数量关系方面的要求，如点的坐标等。

二、思维路径

解决二次函数题角相等的“存在问题”的一般路径是：假设存在-----分析推理-----精密计算-----得出结论。首先要对结论作出肯定的存在，把肯定存在作已知条件进行分析、研究、计算，如能得出一个合理的结果，则肯定问题存在，如果计算不出结果，结果与逻辑矛盾则假设结论就不存在。

三、例题研讨

如图，抛物线 交 轴于A、B两点，交 轴于点C，顶点为H，其对称轴交 轴于点N。直线l经过B、D两点，交抛物线的对称轴于点M，其中点D的横坐标为 .

（1）连接AM，求 ABM的周长；

（2）若P是抛物线位于直线BD的下方且在其对称轴左侧上的一点，当四边形DPHM的面积最大时，求点P的坐标；

（3）连接AC，若F为 轴上一点，当 MBN= FAC时，求F点的坐标.

分析：（1）根据题意可以先求出D点的坐标，再求BD的解析式，进一步求M点坐标从而求 ABM的周长。

（2）根据题意画图，根据图形先设p点坐标，作PQ垂直于 轴交BD于Q点，四边形DPHM的面积就由两个三角形面积之和，恰恰两个三角形的高为定值从而建立函数解析式求解

（3）角相等的“存在问题”是此题的难点，首先要求出 MBN的三角函数的正切值的在根据图形的线段特征找出45°角建立等量关系求解p点坐标

.解：（1）当x=-5，y= ，则D（-5， ）

令y=0，则 ，则A（-4，0），B（2，0），则AB=6

则直线DB的解析式为 ，

抛物线对称轴为 ，则M（-1， ）

在RtMNB中，

MN垂直平分AB，则AM=BM= ，

则

所以

（2）连接PM，过P作PQ垂直于x轴交l于Q

抛物线的顶点坐标H为（-1， ）

令P

则

当

（3）如图，当F在C的上方时，过

在

由题意可得，∠ACB=45，因为∠MBN=∠ ，所以 相似于

所以

因为AC=

当F在C的下方时，过C作 ，

因为∠MBN=∠ 所以

综上，当∠MBN=∠ 时，

点评：（3）二次函数角相等的“存在问题”知识的运用，根据题目意义可以清晰的分析出是以AC为边的两个角，通过构造等腰直角三角形，运用三角函数，相似知识解答得出正确答案。

四、跟踪训练（考试）

已知如图，抛物线 交x轴于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为D.

（1）求ACD的面积；

（2）点M在抛物线对称轴上，若BCM为直角三角形，求出点M的坐标.

（3）点P在抛物线上，连接AP，若∠PAB=∠ACD，求点P的坐标.

268,五、跟踪训练答案 解：把y=0代入抛物线的解析式得 A（-4，0）B（2，0）（1分） 当x=0时，y=-4 C（0，-4） 又 D（ …………（2分） 设抛物线的对称轴交x轴于点E. ==3 …………………（4分） （3）设P ，作PNx轴于点N，DHAC于H. A（-4，0），C（0，-4） AC=又 3=×DH DH=

又 D C（0，-4）