从两年高考命题看高中导数教学
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【关键词】高中数学 教学改革 教学方法
2008年江苏高考第8题:设直线y=x/2+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为?2009年江苏高考第9题:在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y = x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为?该题目考察函数的一阶导数是函数几何图形的斜率,由此可以很清楚的明白该题目考察的知识点。
2 高中数学导数与应用部分教学建议
文章认为在高中导数与应用部分的教学应该注意以下几点:
2.1认真讲好两个引例
导数概念是微积分中最重要、最基本且含意深刻的概念,所有的大、中学微积分课本都是通过典型实例(一般是1至3个)来引入的,教材中的两个实例就是牛顿和莱布尼兹在微积分时分别用过的两个经典实例“瞬时速度”和“切线斜率”.笔者认为这是十分必要的,因为它能使学生通过对这两实例的比较、分析、抽象其实际意义,抓住其共同的数学本质(增量之比ΔyΔx,当Δx0时的极限),从而更好地掌握导数概念.为此必须把这两个实例分析透彻,宁可讲得慢一点,一定要让学生理解.
2.2重视导数定义的教学
讲透了两个经典实例的具体内容再抽象出导数的定义,就不难被学生所接受。这里要指出的是课本上函数在点x0处的导数f′(x0)的定义为: ,但此式也可以表示为,其本质是一样的,这点必须让学生明白。
2.3讲清楚导数的几何意义
导数的几何意义就是莱布尼兹的“切线斜率”,这里要让学生搞清曲线在某点处斜率存在与否和在此点切线是否存在的关系以及对切线概念的新认识。
以前对切线的感性认识是:当直线与曲线只有一个公共点,且整条曲线在直线的一侧时,此直线是该曲线的切线,但这个仅仅是比较特殊的曲线的一类情况。实际上也存在着这样的曲线,它可以分布在该曲线在某点处的切线的两侧,甚至一条切线除切点外,还可能与这条曲线有其它的公共点。
例如:曲线y=x3在x0=0处的切线方程为y=0(即x轴),此曲线分布在x轴两侧,再如曲线y=3x4-2x3-9x2+4在x0=1处的切线方程为y=-12x+8,此切线与曲线除切点外,还有其它两个交点。这就要求学生要正确理解切线的概念。
2.4强调导数的工具作用
利用导数求函数的单调区间、求函数的极值或最值等,可以体现它在中学数学中的价值.通过举一些以往学生难解决的单调函数问题、函数最值问题,而现在利用导数这一工具简洁地把它们解决,使学生感受到导数重要的工具作用。
3 结论
在实际教学中,我们还可以适当补充一些利用导数解决其它问题的内容,如利用导数研究函数的其它性态、证不等式、证恒等式等,以此说明导数应用的重要性和广泛性,从而引起学生的高度重视。