用面积和三角函数证明M+N=P型几何证明题
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在一个几何证明题中，垂直条件比较多时，除了使用常规的方法证明结论外，有些题目还可以尝试用面积方法和三角函数证明，由此可以达到意外效果。对于培养数学思维习惯，学会从多角度解决数学问题有很大帮助。
比如：ABC中，AB=AC,BD、CE是高。
求证：BD=CE
证明：S=■AB×CE= ■AC×BD,又AB=AC
BD=CE
或者：在RtCDB中sin∠DCB=■, 在RtCEB中sin∠DCB=■,又∠DCB=∠EBC
CE=DE
除用全等证明的通法解决这个简单几何问题外，用面积法和三角函数法也很简洁。这种方法对于一些较复杂的几何题目也同样适用。
例1：在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G。一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。
（1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E。此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图15-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）
证明：（2）连接AD，SABC=■AB×CG= ■AB×DE+■AC×DF,又AB=AC
所以：CG=DE+DF
也可以借助三角函数来证明：
证明在RtBED中sin∠B=■
DE=BDsin∠B
同理在RtDFC中,DF= DCsin∠ACB
DE+DF= BDsin∠B+ DCsin∠ACB,又∠B=∠ACB
DE+DF =（BD+DC）sin∠B=BC sin∠B
在RtBGC中CG=BCsin∠B
DE+DF=CG
（3）问方法与（2）一样
此题是2007年河北省中考试题，在多年没有考截长补短类几何证明的情况下，出现这样的题目，很多学生束手无策，如果我们平时教学中，注意培养学生从多角度思考问题，防止思维定势解题干扰，提高学生思维的深度,学会一题多解，学习效果会更好些。用面积法和函数法解决m+n=P型题目一般思路是：找到三条垂直的线段分布的三角形，利用面积和差、等线段关系证明结论，或者找到三条垂线所在的直角三角形，借助三角函数以及相等的线段、角来解决。
例2：正方形ABCD中，直线MN经过点A，DEMN,BFMN,CGMN，求证：（1）DE=BF+EF（2）BF=DE-CG（3）如果点M绕A点旋转到CD上（2）的结论会发生变化吗？
面积法：（图2-1）
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证明：连接DM、AC。
SAHD=■S正=SABH+SHCD，又SHCD=SAHC
■AH×DE=■AH×BF+■AH×CG
DE=BF+CG
即：BF=DE-CG
三角函数法：
简证：DE=ADsin∠1,BF=BHsin∠2, CG= CHsin∠3
易证：∠1=∠2=∠3又AD=BC
BF+CG=（BH+HC）sin∠2=BC sin∠2
BF+CG=DE
即：BF=DE-CG
（3）结论发生变化：BF=DE+CG
连接AC、HB（图2-3）
S1AHB=■S正1=SBCH+S1AHD，又SHCB=SAHC
■AH×BF=■AH×CG+■AH×DE
BF=CG+DE
也可以用三角函数证明：
简证：BF=ABcos∠2,DE=DHcos∠1,CG= CHcos∠3
易证：∠1=∠2=∠3又AB=DC
DE+CG=（DH+HC）cos∠1=DCcos∠1
BF+CG=DE
即：BF=DE-CG
这也是一道中档截长补短可以解决的证明题，由于可以构造直角三角形，并且可以找到面积和角的相等关系，因而也可以借助面积法和函数方法解决，解法比较简洁巧妙。
以下各题供学习分析使用
1：已知；ABC中，AB=AC，M是底边BC上一点，MDAC，ME AB，BF AC
(1)求证：MD+ME=BF
(2)如果点M在BC的延长线上，其他条件不变，结论（1）会变化吗？（图2）
2：已知正方形ABCD中，对角线AC和BD交与O点,P是AD上一动点，PE AC,PF BD。（图3）
求证：PE+PF=OB
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总之，平时教学过程中，注意培养学生从多角度思考问题，防止思维定势解题干扰，提高学生思维的深度、广度，学会一题多解。只要我们注意积累，善于总结方法，关注学生能力的培养，一定可以达到事半功倍的效果，学生做题时就会得心应手。
（责编 张宇）