高考排列组合问题的求解策略

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排列组合问题是每年高考必考内容，这类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，因此解题时应注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，使看似复杂的问题迎刃而解。现将高考中几类典型排列组合问题的求解策略归纳如下：

一、合理分类与准确分步法

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例1：有n个人参加计算机考试，能否通过不能确定，问有多少种可能情况？

解析：【法一】由分类计数原理，有0个人通过有C种结果，有1个人通过有C种结果，有2个人通过有C种结果，……有n个人通过有C种结果，因此，一共有C+C+C+…+C=2种可能情况。

【法二】由分步计数原理，第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也有通过与不通过两种可能；……第n个人也有通过与不通过两种可能，因此，一共有n个2相乘，即2×2…×2=2种可能情况。

二、混合问题“先选后排”

对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。

例2：4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？

解析：因有一空盒，故必有一盒子放两球。第一步：选，即从四个球中选2个有C种，从4个盒中选3个盒有C种；第二步：排，即把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有A种，故所求方法有C•C•A=144种。

三、特殊元素“优先安排法”

对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。

例3：用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。

A.24个B.30个C.40个D.60个

解析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：第一类，0排末尾时，有A个；第二类，0不排在末尾时，则有A•A•A个，由分数计数原理，共有偶数A+A•A•A=30个，选B。

四、总体淘汰法

对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。

例4：五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（）。

A.120种B.96种C.78种D.72种

解析：由题意可先求五个人全排列有A种，再将甲排首位A种，乙排末位A种都要减去，但甲排首位可能乙排末位，乙排末位可能甲排首位，需再加上甲排首位乙排末位的全排列A，故有A-2A+A=78种不同的排法。选C。

五、相邻问题“捆绑法”，不相邻问题“插空法”

若对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将相邻的元素“捆绑”起来看作整体与其他元素排列，再对这个整体“松绑”，即内部元素排列；若对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

例5：7人站成一排照相，①若甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？

②若甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？

解析：①把甲、乙、丙三人“捆绑”起来看作一个整体，与其余4人共5个元素全排列，有A种排法，而甲、乙、丙之间又有A种排法，故共有A•A=7200种排法。

②先将其余四人排好有A种排法，再在这四人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有A种方法，这样共有A•A=1400种不同排法。

六、局部问题“整体优先法”

对于局部排列问题，可先将局部看作一个整体与其余元素一同排列，然后进行局部排列。

例6：7人站成一排照相，要求甲、乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种？

解析：甲、乙及间隔的3人先“捆绑”起来组成一个“小整体”，这3人可从其余5人中选，有C种；这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有A种方法，它的内部甲、乙两人有A种站法，中间选的3人也有A种排法，故符合要求的站法共有C•A•A•A=720种。

七、顺序固定问题用“消序法”

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。

例7：6个人排队，甲、乙、丙三人顺序一定，则不同的排队方法有多少种？

解析：不考虑附加条件，排队方法有A种，而其中甲、乙、丙的A种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A÷A=120种。

八、构造模型“插板法”

对于相同元素的分配问题，可以再元素之间构造一个隔板模型来达到分配的目的。

例8：方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？

分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，即为a，b，c，d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有C=165。

九、正难反易转化法

对于一些生疏问题或直接求解较为复杂、困难的问题，若从正面入手情况较多，不易解决，应及时转化思路从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理。

例9：马路上有8盏路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？

解析：关掉第一盏灯有6种方法，关第二盏、第三盏时需分类讨论，情况十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法都对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5盏亮灯的6个空中插入3盏暗灯”的“插板”问题。故关灯方法有C=20种。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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