一种椭圆形方程的差分格式及迭代法求解

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摘 要：有限差分法是解偏微分方程的一个重要数值方法。对正方形域上的Laplace方程的第一边值问题用差分法建立了其差分格式，并用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法（SOR法）对该差分格式进行求解。对三种迭代法进行编程并上机实践，求得相应数值解，通过表格对运行结果进行了比较。

关键词：差分格式；Jacobi迭代法；Gauss-seidel迭代法；超松弛迭代法

一、问题及其差分格式

考虑正方形域上的Laplace方程的第一边值问题：

uxx+uyy=0，（0

容易验证方程（1）的精确解为：u（x，y）=■sinπy.

在xoy平面上作两组平行直线：x=x0+ih，y=y0+jh（i，j=0，±1，±2…）.（x0，y0）是xoy平面上的任意一点，取（x0，y0）为坐标原点（0，0），步长h=■，这样，整个平面就被这两组平行直线构成的正方形网格所覆盖，两组平行直线的交点称为网格结点，只考虑属于正方形区域[0，1；0，1]的结点。若一个结点的四个相邻接点都属于[0，1；0，1]，则称此结点为内部结点；若一结点的四个相邻结点至少有一个不属于[0，1；0，1]，则称此结点为边界结点。在每一个内部结点上，用二阶中心差代替问题中的二阶导数：

（uxx）■=（■）■≈■

=■

（uyy）■=（■）■≈■

=■

则有：（■）■+（■）■

≈■

由此得到（1）的差分格式为：uij=■（ui+1， j+ui-1， j+ui， j+1+ui， j-1）.（i，j=1，2，…n-1），其中u（0，y）=u（x，0）=u（x，1）=0，u（1，y）=sinπy.

二、三种迭代方法及收敛性比较

对线性方程组Ax=b，系数矩阵A=（aij）n×n非奇异，且A的主对角元aij≠0（i=1，2…n）.

1.Jacobi迭代法

将A分裂成A=D-（D-A），其中D=diag（a11，a22…ann），于是方程Ax=b可以写成Dx=（D-A）x+b或x=（E-D-1A）x+D-1b （2）

令B=E-D-1A，g=D-1b，则（2）可写成：x=Bx+g

这样得到了迭代公式：

xk=Bxk-1+g（k=1，2…） （3）

2.Gauss-Seidel迭代法

将A分裂成：A=D（E-L）-DU

其中：D=diag（a11，a22，…ann），

L=0 0 … 0 0-■ 0 … 0 0-■ -■ … 0 0 … … …-■ -■ … -■ 0

U=0 -■ … -■ -■0 0 … -■ -■ … … …0 0 … 0 -■0 0 … 0 0

对比（2）和（3）则得出：B=L+U

于是方程Ax=b可以写成：D（I-L）x=DUx+b （4）

显然D和I-L都是非奇异的，因此可以用（I-L）-1D-1左乘上式的两端，得出：

x=（I-L）-1+Ux+（I-L）-1D-1b

由此得Gauss-Seidel迭代法的迭代公式：

■

由此可见Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的修正。

表1 Jacobi和Gauss-Seidel迭代法收敛速度的比较

■

续表

■

其中误差容限TOL取0.5E-8，π取3.1415926。由表1的结果可知，Jacobi迭代法比Gauss-Seidel迭代法迭代公式简单，但收敛速度比Gauss-Seidel迭代法慢。当剖分网格加细即N增大时，误差随着减小，迭代次数相应增大，所得结果在误差范围内，基本达到要求，验证了该方法的可行性。

3.SOR迭代法

令：■

■ （6）

引入了中间变量■，ω为松弛因子，当ω=1时，（6）即为Gauss-Seidel迭代法。

把（6）中的中间量■消去，可得SOR迭代法的迭代公式：

■

三、三种迭代法的解与准确解的比较

表2 N=6，ω=1.4，迭带次数k=20时的解及误差

■

从表2可以看出，SOR迭代法收敛速度最快。在实用中我们更多地采用SOR迭代法，其收敛速度与ω有关，而松弛因子ω的选择有赖于实际经验。

参考文献：

[1]林成森.数值计算方法：下[M].科学出版社，1997.

[2]李荣华，冯果忱.微分方程数值解法[M].3版.高等教育出版社，1995.