用几何画板探究函数y=ax+bx

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【摘要】 函数是高中数学研究的重要内容。函数的观点和方法贯穿高中数学的全过程。而 y=ax+bx （a、b为常数）是一种既常见又特殊的函数，在近几年的高考试题中屡屡出现。本文就此函数的图像，借助数学软件几何画板来加以探究，同时抽象出它的性质，并用数学理论加以证明。

【关键词】 几何画板 ； 探究； 图像 ；性质

函数 y=ax+bx （a、b为常数）当ab=0时为简单的基本初等函数，在此不再赘述。下面利用几何画板探究函数 y=ax+bx （ab≠0）的图像。

先简要说说课件的制法。打开软件，新建两个参数a、b，利用参数a、b绘制含参函数y=ax+bx 的图像，打开运动控制台，控制a、b的变化，同时观察图像的变化，初步发现函数图像关于原点对称，直线x=0为它的一条渐近线，a、b在一定范围内取值时函数图像的增减趋势不变，但当a、b的正负发生变化时，函数图像发生了大的变化，增减趋势截然不同……。再仔细观察发现当ab>0时有另外一条渐近线，为直线y=ax ，……。

下表中的图像为几何画板在取具体参数时的截图，图中同时作出了函数 y=ax+bx 的导函数y′= a-bx2 的图像,标出了导函数的零点。以便于理解原函数在各自区间上的单调性。图中点A、B、C的坐标为近似值（如图1中A坐标为（ba ，2ab ）即为（ 22，22 ）近似为（0.71,2.83））。现将观察分析到的函数图像和性质归纳如下：

由于函数 y=ax+bx 在ab>0时的图像比较像一对“对勾”，因此，有时我们把函数 y=ax+bx （ab>0）叫“对勾函数”。

函数 y=ax+bx （ab≠0）的单调性和值域可通过导函数来理解和证明。如下：

导函数y′= a-bx2 （ab≠0），有两个零点x1=ba ，x2= ba 。由于函数y=ax+bx 为奇函数，下面只就x>0的情况讨论导函数值的符号和原函数单调性，见下表：

a>0,b>0

对导函数值正负的证明：当a>0,b>0时，可把导函数y′= a-bx2 变形为y′= (a+bx)(a-bx)，当a

利用极限的思想可以理解函数 y=ax+bx （ab>0）的两条渐进线为：直线x=0和直线x=0和直线y=ax .

有了导函数值的正负情况，便可知在各自区间上原函数的单调性，进而知原函数的极值、最值情况。结合渐近线及图像的对称性。就可以画出大致的函数图像。有了图像一切信息将变的直观、清晰、明了。