分析高三数学作业讲评有效性的思考方法

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一、问题的提出

高三,很多老师有这样一个共识,我这门学科的作业布置少了,学生就把时间花到别的学科上了,所以你多我也多.学生不做不好,做又做不完,只能抄,或是以匆涂满为目标.学生一开始也想好好做,但无能为力,久而久之就习惯了.

高三,很多学生有这样一个共识,认为试卷就是作业.慢慢的,师也就顺着学生的想法,你喜欢做试卷,那我就发试卷,于是试卷越发越多,综合卷一套又一套.学生做得越多问题越多,有问题就再做.

显然在高三复习中,教师和学生对作业的认识都存在误区.

(一)教师对讲评的误区

1.改而不讲:高三由于时间紧,任务重,教师布置大量的作业,有时来不及讲解,就让课代表公布答案.或者把答案贴出来,让学生自己对对了事,对存在的问题不分析、不评价.其实学生缺的不是答案,缺的是对问题的评价与总结.所以会的还是会,不会的还是不会.

2.讲而不评:有些教师往往会在课前几分钟讲评,为不耽误上课,就急忙给出思路或方法要求学生课后自己完成.你说学生不会呢,他也能说出一点,你说会呢,一动笔就错,对一些问题似懂非懂.我们需要教会学生怎么审题,怎么思考,怎么书写整个答案形成的过程,而不是简单地把答案告诉学生.

3.评而不馈:有些教师在上课伊始安排五到十分钟讲评作业,然而学生的错误还是层出不穷.原因很多,最重要的是在作业讲评完之后,师生的思维精力完全集中于新的知识,淡化了学生对前面错误知识的认识.如果没有及时地回忆和巩固旧知识,一段时间之后必然会忘得很快.

(二)学生对作业的误区

1.以完成为目的:学生比较关注作业有没有完成,而教师或家长首先问的也往往是作业有没有完成,因此完成作业成为他们的首要目的,而不是努力地把作业做好.不少学生想到什么就写什么,不会的随便写上一点,有时甚至明知道答错了也不纠正.

2.做得多总是好:有些学生自己买了一些资料,认为做得越多越好,其结果是做得越多问题越多;看看好像都见过,想想都会做,一考就做不完整或做不对.题目越做越多,成绩却越来越差,最后仅有的一点信心也没有了.

3.听懂了就是会:很多学生都认为听懂了就是会,因此听完之后往往就不再花时间.其实听懂是比较浅层的理解,至于为什么这样做,怎样的问题可以这样处理,还需要花时间琢磨,需要再做尝试.其实听懂与会做之间有很大的距离.

要提高教学质量,首先教师要改变观念,要认识到批改作业与作业讲评的重要性,进而引导学生重视他们做过的题.

二、提高作业讲评有效性的实践

(一)作业批改

作业批改的目的是老师要了解学生对这些问题的掌握情况,使教师有针对性地选择合理的方式进行有效教学.同时让学生看到自己的问题,明白错在何处,为什么错,如何避免再错.还要通过必要的语言给学生以鼓励、建议、督促等.在作业批改中教师应该了解学生哪些信息呢?我个人是这样做的,把每次批改作业的情况用表格列出来.(附表格)

1.面批:面批的优点是让老师与学生通过面对面交流,更直接地了解学生的真实想法.面批的前提是师生双方都要有时间,老师有时需要利用课余时间面对.

对于学生经常犯的错误,我认为应该多与学生面对面交流,找到学生出错或不会的真正原因.

2.无对错批改:这里的无对错批改指的是教师在批改作业时先不留痕迹,只了解学生的答题情况,教师做好记录,然后发给学生.教师根据了解到的情况进行有针对性的讲评,学生自我批改,最后交上来老师检查.其优点是学生通过自查自找,弄清楚错在何处.但无对错批改的工作量相对比较大,在多数学生作业做得不好时方可采用.

3.学生互批:这种批改作业的方法,使学生在判断别人作业正、误的同时,也提高了自己分析、评价的能力.交换批改的重点是批改完之后一定要留给学生一定的时间交流,互相指出问题所在.次数的安排也不宜过多,可以每两周一次,因为一次作业互批含讲评一般需要一节课.

另外,作业的批改不仅要帮助学生指出错误,而且要及时给予学生肯定.我在改作业时经常给学生写一些鼓励性的评语.批改一定要及时,因为时间一长,新旧错误混在一起,不利于解决问题.学生问题较多时,我会白天详细批改,放学前发给学生,要求学生订正,第二天再讲评.

(二)作业讲评

对数学作业的讲评是数学教学中必不可少的环节.通过作业的讲评可使学生加深对自己学习情况的了解,调整和改进学习方法.怎样做好作业的讲评呢?

1.师生要重视作业讲评

作业评讲是教师一项重要的工作,也是学生学习的重要环节,教师做到作业不批不评讲,作业不订正不评讲,不备讲评课教案不评讲.要让学生明白,作业做了,问题发现了,但如果这些问题不解决,得到的与付出的就会不成正比.如果这个时候,我们再花点时间,把问题解决了,我们得到的回报就是百分之百.作业讲评的意义在于:

(1)真正体现学生的主体(关注学生):让学生真正参与研究性学习,体验整个过程.

(2)教学素材:典型错误的展示(失败为成功之母).

(3)从错题中了解学生的思维过程,了解学生知识掌握情况,揭示真实的思维过程.

(4)提高反思能力,养成良好的学习习惯.

2.作业讲评的原则

(1)激励性:在实际教学中常有以下情况:一是不管学生作业解答如何,教师从头至尾一一演讲;二是讲评课变成了批评课:“这样容易的题目都解错?”“这些内容我平时是否再三强调过?”……以上两种讲评,结果一:教师辛苦,学生厌烦,效果甚微;结果二:批评责备,挫伤积极性,甚至产生对立情绪,影响师生情感.所以一堂好的讲评课,首先应该是发现学生已经学会了什么,并肯定学生的成绩,鼓励学生的进步,调动学生学习的积极性.

(2)实质性:作业中出现的问题时,要充分揭示学生的思维过程,不能简单地否定,尽可能准确地找到学生错误的原因,逐步接近问题的本质,对相关知识点有更深入的理解.

讲评片断:

作业:已知锐角ABC中A=■B,求u=cosA+cosB的取值范围.

教师:(展示学生错误作业)

u=cosA+cosB=cosA+cos2A=2cos■A+cosA-1=2(cosA+■)■-■

因为ABC为锐角三角形B=2A,所以A∈(0,■),cosA∈(0,■).

所以u=2(cosA+■)■-■在cosA∈(0,■) 上单调递增,从而u∈(-1,■).

教师:请学生思考分析这位同学出错的原因.

学生甲:没有注意到C=π-(B+A),C∈(0,■),从而得到A>■.由于A的区间大小不正确,导致题目解答错误.

事实上,很多老师认为学生甲的分析是对的,但是如果老师这样讲评作业,就可能导致学生一错再错.学生的错误在于是没有正确求出角A的取值区间,即分析没有抓住本质,没有求出准确区间的直接原因是没有考虑同一个三角形中角C是锐角时对角A的制约,导致角A区间变大.再进一步分析,学生对三角形中角C位置的缺失,还是在于对“锐角三角形”概念的本质没有掌握,只看到每个角都是锐角认为就是锐角三角形的定义,其实锐角三角形中任意两个角的和为钝角才是其本质.学生缺少的是对三角形中基本元素如角、边等之间相互联系、彼此制约关系的认识,眼中只有树木——一个角,不见森林——组成三角形的三个角,导致学生对研究对象的量之间的相互制约关系的意识缺乏,所以作业讲评一定要抓住问题的实质,不断提高学生解题能力和纠错、防错能力,帮助学生理解相关数学概念,提高数学学科素养.

(3)启发性:讲评时,教师应根据学生答题实际,提出富有启发性的问题,扩大知识面,拓展深度.

例如,讲评了利用基本不等式求最值之后,可就a、b∈R■,a+b为定值得出ab的最大值为(■)■,再提出a+b为定值,ab为变量,ab的值随|a-b|怎样变化?为什么?

又如,在学生用图像变换画了y=■的图像后,请学生指出该图像的对称中心,然后进一步提问:函数y=x+■的图像的对称中心是什么?最后让学生归纳一下找对称中心的一般方法,从而将思维引向深处.

(4)系统性:教师面对作业中所出现的问题,不是简单地将错题讲一遍,而是就有关问题研究讨论之后,针对该题所涉及的知识内容、思想方法,多角度、全方位地精心设计变式,使学生从各个角度加深对该问题的理解和掌握.通过讲评,学生形成系统的知识结构.

例如在讲评完下例作业:O为ABC所在平面上一定点,动点P满足■=■+λ(■+■)(λ∈R),则随着λ的变化,点P必经过ABC的?摇 ?摇心.

我为了加深学生对该问题的理解和掌握,更改命题条件的表达式的结构形式,构建变式:■=■+λ(■+■)(λ∈R).

变式1:■=■+λ(■+■)(λ∈R).

变式2:■=■+λ(■+■)(λ∈R).

变式3:设G是ABC的重心,且■=x■+y■,求x、y的值.

变式4:设O是ABC内一点,求证:■=■■+■■,其中S■表示ABC的面积.

变式5:设I是ABC的内心,|■|=4,|■|=5,|■|=6,且■=x■+y■,求x、y的值.

通过这种讲评方式,变换题支或题干,不仅可以融合更多的知识点,而且可以使学生突破原有知识的狭小范围,以更广阔的视角认识这类题型,促进思维的发展.

3.作业讲评的注意点

(1)讲评的时间:总的原则是及时性.学生完成作业后应趁热打铁及时给学生解惑,纠正错误,否则搁置的时间长了将事倍功半.

如果需要讲评的作业量不是很大,一般可放在第二天课的开头5—10分钟完成.应有重点地讲评,如果所有的都讲,就很容易蜻蜓点水,就提论题,就错论错,学生很难有时间思考消化.在讲评之前一定要留给学生时间发现问题,而不是教师指出错误,学生被动认识错误,被动接受正确的解法.

(2)问题的呈现方式:可以通过实物投影.最好选择解法或错误比较有代表性的问题,同时不要带有批改痕迹.一旦给出批改痕迹,就等于给出了对错,甚至错在哪里等信息,学生容易想当然,大大降低发现、探索的积极性.除此以外,我在教室后面的黑板上给学生设置了一个纠错园地.学生可以把自己经常错的一类题或错误的想法、错误的解法展示出来,让同学找出错误,给出正确的解法.

(3)讲评的方式:可以是老师讲评也可以是学生自己讲评.无论采用哪种方式都需要留给学生一定时间去思考发现,让学生做好思想和心理准备.教师在讲之前一定要弄清学生真正困难在哪里,而不是简单地指出错误,就把正确的方法教给学生.最有效的方法是要找到问题,想学生所想,做学生想做.

例:已知直线L:x=my+1过椭圆C:■+■=1(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆C于A,B两点,点A,F,B在直线G:x=a■上的射影依次为点D,K,E.

(1)若抛物线x■=4■y的焦点为椭圆C的上顶点,求椭圆C的方程;

(2)连接AE,BD,证明:当m变化时,直线AE、BD相交于一定点.

教师首先通过实物投影呈现某位同学的解答过程(略).

师:同学们让我们来看看这位同学的理解和解答是否合理?为什么?

生:(1)(2)两个小题是没有关系的、是独立的.条件“若抛物线x■=4■y的焦点为椭圆c的上顶点”只是第(1)小题的限制条件.

师:何时两者有关系呢?如何修改?

生:条件“若抛物线x■=4■y的焦点为椭圆c的上顶点”放到总的题干上,即为两个小题的前提条件.

师:请同学们总结何时两者有关系,何时两者无关系.

生:……

师:(课堂练习)请同学们判断两个小题的联系,并课后完成这个题目.

练习:已知抛物线C:y■=2px(p>0),斜率为k的直线l过点P(m,0)且交抛物线于A,B两点,A点关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于Q点.

(I)若抛物线C上纵坐标为1的点到焦点的距离为p,求抛物线方程;

(Ⅱ)探究:当k变化时,点Q是否为定点?

教师要充分展示错误,剖析错误产生的原因。改正错题的过程是学生再学习、再认识、再提高的过程,它使学生对易错的知识的理解更全面透彻,掌握得更牢固,同时提高学生自主学习能力,是反思的具体途径.要避免讲而不评.

(4)讲评完之后给学生留点时间:绝大多数学生能听懂老师的讲解.但如果此时立刻教学新的内容,往往会冲淡了学生的认识和理解.此时应给点时间让学生定定神,理理顺,往往效果会比较好.

(5)适当布置作业:有些错误的认识和理解,是根深蒂固的,绝不是简单地讲评几遍就能抹去痕迹的.所以我们在讲评后,必须趁热打铁,让学生加深认识.因为这个错误一旦反复几次之后,要想纠正过来就非常困难了.

作业可以分为三类。

第一类是订正:指导学生重视作业的订正,及时认真地摘录到纠错本上,教师过一段时间检查一次.要作为一项长期的工作来抓,直至学生变成一种自觉行为,养成习惯.

第二类是类似题型:学生对“函数的值域与函数值变化范围”的概念混淆不清.通过讲评之后可以布置如:

题1:函数y=2x■+(2m-3)x+3-2m(x∈R)的值域为[0,+∞),求m的取值范围.

题2:函数y=2x■+(2m-3)x+3-2m(x∈R)的取值为非负,求m的取值范围.

第三类是错误辨析题:如下列解法是否正确,请说明理由:

函数y=2x■+(2m-3)x+3-2m(x∈R)的值域为[0,+∞),求m的取值范围.

解:函数的值域为[0,+∞),定义域x∈R,y≥0对于x∈R恒成立,故Δ=(2m-3)■-8(3-2m)≤0,即(2m-3)(2m-5)≤0,-■≤m≤■,m的取值范围为[-■,■].

(6)学法指导:学生往往看到的是教师写出来的东西,关注的也是写出来的东西,对于老师是如何想的,为什么这样想,关注得不够.这可能是为什么有些同学笔记做得很勤快,数学成绩却一直提不上去的原因.笔记要记关键点,不能从头到尾都记下来,要注意消化理解.

(7)错题管理:应感最大限度地发挥错题功能,进行错题辨析,建立错题 档案.错题管理是帮助学生进行有效学习和提高教学质量的一种手段.学生和教师都不能轻易地放过错题,必须彻底弄清楚错题所反映的问题,学以致用.

三、反思

作业批改和讲评的过程其实是一个自我反思的过程.为什么讲过的问题学生还是不会做,还是会做错?是学生学的问题还是教师教的问题?教师该怎么教,学生又该怎么学?教师需要不断地反思.

(一)对学数学的反思

当学生走进数学课堂时,他们的头脑并不是一张白纸——对数学有着自己的认识和感受.师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异,这些差异使得他们对同一个教学内容的感知通常是不一样的.因此在教学过程中教师应尽可能把学生头脑中的问题“挤”出来,将他们的思维过程暴露出来.

(二)对教数学的反思

教得好是为了学得好.在上课、评卷、答疑时,我们以为讲清楚了,学生受到了一定的启发,但反思后发现,自己的讲解并没有从根本上解决学生存在的问题,只是一味地想要他们按照某个固定的程序解决某一类问题,学生当时也许明白了,但并没有理解问题的本质.

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准.北京:人民教育出版社,2003.

[2]高玉祥,等.心理学.北京:北京师范大学出版社