搭建并不陡峭的高度
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近年来，笔者积极倡导教师用“理性教学”的理念推进数学课堂教学的改革，并把培养“基础扎实、思维灵活、探索积极、视野开阔”的学生作为自己数学教育工作的终极目标。在此过程中，我针对常见的教学做法进行了创新思考和理性实践。现整理成文，以求教于大方之家。
一、回到生活中寻找数学思考的力量和灵光
生活世界是人类的精神家园。当我们一门心思地投入到科学世界的怀抱中的时候，不止一次地发现，数学的真理性认识有时真的让孩子们难以接受和理解，至于自如运用就更是诚惶诚恐了。于是，我们在前行的路上需要回到生活世界寻求帮助，让数学学习生长于斯，亦逝于斯。
1.寻求有用的问题和情境来探索
如教学《圆的认识》的内容，针对知识点琐碎的情况，可以跳出课本框架，回到有价值的生活问题的探究，即用“为什么车轮是圆的”和“为什么用旋转打开的容器，它的口子要做成圆形”这样两个问题支撑起整节课教与学的流程，把“对圆心、半径、直径的认识，同一个圆中半径相等、直径相等且都有无数条，同圆中直径与半径的长度关系，直径为圆中最长的线段以及如何画圆”这些知识涵盖其中进行创造性教学。在探索解决两个生活问题背后的数学道理和本质解释的过程中，学生不知不觉地“顺便”学习了有关圆的知识，并获得了深刻的学习体验。如此设计，充满新意，意蕴深厚。
2.找到有力的事例和道理来支撑
如运用乘法分配律进行简便计算时，经常会有学生出现“65×5+35×5=（65+35）×5=65×5+35×5=325+175=500”的情况，此时，我则会借生活事例帮助学生理解算式变形的意义所在。如“小明的妈妈让小明去厨房拿碗盛饭，等了半天，还不见小明过来。于是，妈妈去厨房看看小明在干什么，结果发现小明正在把饭盛进碗里后又倒回锅里，接着又盛起，又倒回。（学生哈哈大笑）你们说，把饭盛进碗里是为了什么？（吃饭！）对，利用乘法分配律把5个65与5个35配成5组（65+35）的目的是为了简算。如果再‘倒’回去，还能简算吗？（不能！）”生动的事例，带给学生的不只是个中意义的理解，还有数学的“可爱”。像这样来自生活世界的事例和道理还有很多。
3.觅得有效的方法和思想来超越
如“三角形的面积计算公式”的推导教学，教材的编排思路是让学生先用两个完全一样的三角形（共三组，依次是直角三角形、锐角三角形和钝角三角形）试拼成平行四边形，确信能拼成平行四边形之后，让学生用数格子的方法求出平行四边形和每个三角形的面积，并填入表格内进行比较，从数据上发现三角形的面积是平行四边形的一半。然后，思考它们的底、高有怎样的关系，接着，在教师的引导下推导出三角形面积的计算公式。整个学习过程，有探究，有推理，学生可谓全程参与，但后续运用公式时仍然会丢掉“÷2”。这表明，学生仅从形式上“一知半解”，缺乏对“÷2”的实际领悟。
我苦思之后得新法，终于取得实质性的突破。首先，出示一粒大米和一架天平，让学生称出大米的重量。学生操作后发现，一粒大米的重量根本无法称出，因为太轻了，随即想到可以称出10粒相同大米的重量，然后再除以10。接着，出示直角边分别为4cm和2cm的直角三角形，让学生计算它的面积。学生在先前称一粒大米的方法和思想的基础上，想到要求一个三角形的面积，可以先求两个三角形的面积（即长方形或平行四边形），然后“÷2”即可。接着，再让学生分别计算出底3cm、高2cm的锐角三角形和底4cm、高1cm的钝角三角形的面积。三类三角形的面积计算之后，让学生思考“三角形的面积如何计算”，进而形成板书“三角形的面积=两个三角形的面积÷2=底×高（即等底等高的平行四边形的面积）÷2”。立足生活中问题解决的方法和思想的迁移，我和学生一起轻松巧妙地解决了这道教与学的难题。
二、立足数学的认知体系纵横贯通上下求索
众所周知，数学知识具有较强的逻辑性和关联度。我们把知识的习得根植于生活经验之上的同时，怎样才会不造成知识“碎片”的堆积呢？如何敞亮视角，让学生在数学认知结构中“进得去”，又“出得来”呢？这些问题的有效回答，将直接关系学生知识结构的牢固程度和灵活程度。
1.凸现知识建构的生长点和发展区
如六年级“确定位置”的教学，可由已学的相关知识“第几排（组、层）第几个”和“用数对表示某一点的位置”引出话题，指向航海等领域需要从方向和距离两个方面确定物体所在位置的研究。进而，让学生充分感悟到离观测点同样距离的情况下，还是难以精确定位。例如，点的位置虽然都在北偏东的范围内，但仍有多个可能。为此，需要从北偏东的方向角的具体度数上加以考虑。这样，方向的描述就有范围和方向角两个维度。教学完新知之后，还可以把数学思维引向三维空间中物置的确定，让学生利用课余时间查一查资料，交流认识再学习，增强学生数学学习的兴趣。
2.展现广阔的知识背景和研究方向
不识庐山真面目，只缘身在此山中。很多时候，我们把教与学的困惑放至更为广阔的知识背景之下和大的研究方向之内时，往往会有所启发和创新。比如，关于植树问题“找规律”的教学，很多教师极容易根据课本习题的类型分别展开教学，具体教学思路从板书1和板书2中可窥见一斑。而我的教学创新之处，就在于不是让学生判断碰到的问题是两端相同，还是两端不同，或者是封闭与否，而是让学生自然地观察和想象，确定是一一对应的，还是对应不完整，教学思路从板书3中可见端倪。
（板书1）
找规律
两种物品 一个一个间隔排列
两端数 间隔数
两端一样 10 9
8 7
12 11
封闭图形 6 6
7 7
（板书2）
[找规律――间隔排列
两端相同 两端物体比中间物体多1][两端不同
封闭图形][物体个数相同][
]
（板书3）
[找规律
一一对应：0―0―0―0―
―0―0―0―0
对应不完整：0―0―0―0
―0―0―0 ―] [0][0][0][0][0]
3.呈现另一个研究范式和理论框架
在研究“三角形面积的计算”时，我就思考这样一个问题：教学有困惑时，我们需要突破，那没有困惑时，要不要突破呢？比如，平行四边形面积计算公式“底×高”，水平再差的教师教下来，学生也能理解并运用。但学生是记住的，还是理解的呢？理解的程度是单一浅层，还是多元深度呢？“底×高”的知识到底能在学生的哪个认知深处可以生发？其实，平行四边形面积计算公式的推导由长方形面积推导得出，是数学知识由特殊推广到一般的典型形式（长方形本为平行四边形，长即底，宽即高），完全可以在长方形面积计算公式的由来之处寻得答案，即一排的面积单位数×排数=总面积数。在一定程度上，生活世界和数学世界所有两个数量的相乘，都可以看成是二维空间矢量的相乘，都是“一排数×排数=总数”的扩展和变化，“底×高”也不例外。因此，考虑到“底”、“高”这两个维度时，可以把底和高均为整厘米数的平行四边形等分成多个面积为1平方厘米的小平行四边形，这在教科书带有网格背景的图形上是可以将小平行四边形转化为面积1平方厘米的正方形进行佐证和理解的。如此尝试和改进，带给学生的是全新的研究范式和理论框架。
三、启用历史发展的维度审视教学疑难困惑
数学是人类文化的一部分，它伴随人类的发展而发展，逐渐变得愈加科学和成熟。无论是陈述性知识（如数学的概念、性质、法则、定理等），还是程序性知识（如运算、数据处理、推理、作图、制表等），抑或是策略性知识（如数学思想、数学方法、数学观念等），在其内化的过程中，必然出现一系列“是什么”“为什么”“怎么做”的疑难或困惑，还有各种不准确的表达，不正确的操作，不合理的策略等失误或错误。而这犹如历史发展的演变进程，此时如果能用历史的眼光来了解和分析数学知识，构建“活”的数学知识结构，对学生而言，将会具有特殊的重要作用和特别的学习意义。
1.追溯陈述性知识的历史源头
如认识负数时，教师若只是略加说明 “+” 为正号，“-”为负号，肯定会让学生觉得又多了一个要记忆的东西而已。为什么正号是“+”，而负号是“-”？其实是可以追寻其历史的。据说，中世纪的欧洲酒商在售出酒后，曾用横线标出酒桶里的存酒，而当桶里的酒又增加时，使用竖线条把原来画的横线划掉，于是出现了表示减少的“-”和用来表示增加的“+”。当学生看到和触摸到正号、负号的“体温”和“生命”之后，就会形成良好的数学学习感受，而不是只当作数学常识来记忆了。
2.还原程序性知识的发展轨迹
例如《乘法的初步认识》的教学，可以让学生尝试把相同数的连加算式写得更简单。学生在算式“+”之间加上“……”或“等等”时，自然、真实地体会到好的写法应该清楚地表示出“一个加数”和“有几个加数”。如此，学生对乘法的意义就有了一定的理解，乘法算式的写法也就水到渠成了。逐步把连加算式写简便的“仿史”过程，虽然无法从数学史中直接获取，但依据萌芽时期的数学源于生活常识、生活中“写简单”的事理，用历史发展的眼光还原其历程，能让学生看到数学的深刻和抽象实际上孕育在具体和直观之中。
3.揭示策略性知识的思想本质
如《角的度量》的教学，传统教学往往是先认识量角器和角的计量单位“度”，接着教学量角的方法“对点、对边、读刻度”，最后就进行大量的练习。结果不少学生仍不会摆量角器，即使摆好了量角器也不会读刻度，内圈和外圈分不清。我以为，此内容看似是程序性知识，但本质上还是策略性知识。因为角的度量的思想本质是“看对象中含有多少个单位小角”和“量角器的本质是单位小角的集合”。怎样揭示呢？可以这样：⑴由角的大小的意义引出可以用单位角来度量角的大小；⑵由单位角的使用的不便引出要把单位角合并为半圆工具；⑶由这种半圆工具度量不准确引出要把单位角分得更细些；⑷由细分后的半圆工具读数不便引出要加刻度，进而引出两圈刻度。
四、跨越角的边界真诚地向儿童学习
信奉儿童理论的教育工作者都赞同，每一位儿童的个体潜能都是巨大无比的，他们不仅会被动视听和思考，他们还会创造“奇迹”。在一定意义上讲，我们走近儿童，走进他们的生活、言语和心灵的世界，就是走向神奇。我们在数学教学创新实践的过程中，更不应该忘记这一点。
1.浅显的表述方式和理解路径可能源自儿童
如讲解题目“甲、乙两人共有零花钱16.5元，甲的零花钱是乙的4倍。甲、乙各有零花钱多少元”时，教师习惯于如此讲解：“把乙的钱看成1份，甲的钱就是4份，两人合起来就是5份，5份是16.5元，那用‘16.5÷5’就得到1份的钱，也就是乙的钱数，然后再求甲的钱数。”学生又是怎么想的呢？ “甲的零花钱是乙的4倍，可以把甲看成4个乙，这样，16.5就是5个乙的钱数。用‘16.5÷5’得乙，然后再乘4得甲”。不难发现，教师的表述机械、冰冷和繁琐，而学生的表述浅显、温情和简单，并且凭着数学直觉就已经用上了数学思想――替换。
2.鲜活的学习资源和深刻见解可能出自儿童
例如，在学习解决问题的策略“一一列举”时，对例题“旅游团23人到旅馆住宿，共安排了5个3人间和一些2人间（每个房间不能有空床位）。你知道安排了几个2人间吗？”的学习，学生就有比成人感受新知更敏锐细腻的出色表现。当时的情形是这样的，我和学生根据不同的思考角度，分别从只住1个3人间和1个2人间想起，通过一一列举得到了4种不同的安排方法（见表格一和表格二）。接着，比较两张表格，目的仅是让学生明白“先考虑3人间比较简便，只需要列举7种情况，而第二种方法要列举10次”的道理。可是，部分学生却把我引向了思考的“更深处”：第一个表格中，下面一排的数用前一个数减3就能得到下一个数，并且3正好是我们首先考虑的房间人数。第二个表格中，下面一排的数用前一个数减2就能得到下一个数，也正好对应着表格左上角的房间人数。对此，我们在表格三的基础上就“3人间增加的6人来自2人间少掉的6人”展开了探讨“一一列举”的深度内涵和哲学意义的学习活动。
表格一
[3人间/间＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&2人间/间＼&10＼&―＼&7＼&―＼&4＼&―＼&1＼&]
表格二
[2人间/间＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&10＼&3人间/间＼&7＼&―＼&―＼&5＼&―＼&―＼&3＼&―＼&―＼&1＼&]
表格三
[3人间/间＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&2人间/间＼&10＼&―＼&7＼&―＼&4＼&―＼&1＼&][（3-1）×3=6][（10-7）×2=6]
3.有效的组织形式和反馈方法可能来自儿童
稍有些教学经验的教师都知道，如果课堂教学的组织形式不能“黏住”学生的话，低年级的学生会“吵闹”，高年级的学生则会“沉闷”；如果反馈方法效能低下，课上师生可能相安无事，感觉甚好，但课后作业则会问题多多。教师没有足够好的形式和方法的时候，不妨多向学生虚心请教，其实他们的高招多得很！如，“老师，你可以让我们先悄悄地说给同桌听，然后你再讲解，接着‘揪’出说错的人，让他（她）再说一说。”“老师，你可以找几个人互相问一问，了解一些实际情况，再让我们小组合作探究。”“让我们自己先量一量，比一比，想一想，你不要着急！”等等。