例析数学习题教学中教师主导作用的发挥

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学生是教学的主体，对于习题教学亦不能外，但是学生练什么？按照怎样的顺序练习？解题过程中思维遇到了困难怎么办？这些都需要我们教师充分发挥主导性作用进行宏观调控.习题课是高中数学重要的课型，传统的习题教学就题讲题，灌输解题的方法和技巧，导致学生的思维主动性不够，知识学习和应用不成体系，解决问题的能力得不到有效的提升.那么在高中数学习题教学中，如何发挥教师的主导性作用呢？本文就该话题谈几点看法，望能有助于教学实践.

一、精选范例深化研究

习题教学不可缺失了例题的示范性作用，笔者认为选择怎样的例题是教师主导性作用发挥的一个重要方面，选的例题应蕴含数学思想，同时又具有可拓展性，借助于例题和变式实现学生思维的深入化引导，学生在例题解决中实现分析、解决实际问题的能力及数学素养的有效提升.

例1 求f（x）=x2-2x-3在区间[2，3]上的最小值.

例1的教学关注点在于引导学生关注审题，从题目中多给的区间出发，配合使用函数图象完成习题的解答，让学生初步掌握方法，领会其间的数学思想.接着进行变式训练，引导学生的思维发散.

变式1 求f（x）=x2-ax-3在区间[2，3]上的最小值.

这个变化可不小啊！多数学生函数方程处理完毕后都能得到f（x）=（x-a2）2-a24-3，但是接下了却无从下手了.

如何引导呢？

可以追出一个问题：函数的最小值能看出来么？想一想是不是（-a24-3）？用什么方法去探究？

借助于追问引导学生从函数图象和定义域为[2，3]出发，图象的对称轴为x=a2，解决突破口很自然地转化为思考“对称轴x=a2与[2，3]这一区间”在位置上有啥关系.经过一番讨论，结果自然就出来了：

①当a2

②当2≤a2≤3，即4≤a≤6时，最小值为f（a2）=-a24-3；

③当a2>3，即a>6时，最小值为f（3）=6-3a.

例题完成后，还应引导学生进行解题过程和方法的反思：例1和变式1有什么差异，对这类变式我们应当如何处理？帮助学生进行数学知识、思想方法的沉淀.

二、注重解题过程的交流与讨论

学生是教学的主体，习题教学亦不能外，我们在习题教学的每个环节都应该以全体学生的思维发展为着力点，引导学生在审题、分析、探究的整个过程中合作、交流.

例2 设方程x2m+y24=1 （m>0，m≠4），回答下列几个问题：

（1）如果方程表示的是一个椭圆，且焦点在x轴上，试分析实数m的取值范围；

（2）如果方程的准线平行于x轴，试分析实数m的取值范围；

（3）如果椭圆的离心率为12，试分析实数m的取值范围；

（4）如果椭圆的一个焦点为（0，1），试分析实数m的取值范围.

对于这一道题的处理，除了解题，笔者还将班上的学生分为了4个组，课后每组讨论1题，分析老师选题的意图，课上再让每组选一个代表进行汇报和交流，然后再集体讨论、归纳，整个问题的分析和探讨在师生、生生交流的过程中得以解决并提高了认识的深度.

三、习题讲解注重铺垫引导

对于学生解题的过程我们要注意实时监控，如果发现学生解题出现了困难，不应该将答案抛给学生，可以设置铺垫性问题积极引导其思维.

例3 已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），试写出其通项公式.

这道习题可以考查学生归纳、构建特殊数列的能力，但是如果学生第一次接触此递推公式，学生会感觉到难度过大，笔者在教学中进行了如下铺垫：

铺垫1：已知数列{an}中，a1=5，an=2an-1（n≥2），试写出其通项公式.

铺垫2：已知数列{an}中，a1=5，an=2an-1+3（n≥2），证明：数列 {an+3}是等比数列.

铺垫3：已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1-an-2（n≥3），证明：数列{an-an-1}为等比数列，并试着写出它的通项公式.

借助这三个新问题的铺垫，引导学生从最近发展区实现跨越，从中提炼出方法并应用到例3的问题解决中去，不仅解决了问题，还体验了思维逐步发展的过程，教学效果自然俱佳.

四、注重习题的归类

往往多节习题课学习下来，有些知识和方法间存在着较大的联系，引导学生进行归类和总结有助于学生能力的提升.

例如，“三角函数问题中的探索题”存在着多种形式，通常命题的题干中缺少一定的条件或者是一些结论给出不明确，这种命题的目的本身就是要培养学生推断和证明能力，属于一大类的问题，覆盖了很多知识，具有综合性能强，解题方法活等特点，在教学中应通过例题的呈现来有意识地引导学生进行习题归类.

1.条件探索题

条件探索题是典型的探索题，命题中给学生提供问题的结论，不过条件没有给出，要求学生自主补充给出问题结论成立的条件.

例4 已知α、β都是锐角，α+β≠90°，且

2cosα=1cos（α+β）+1cos（α-β） ①，求证：cosα=2cosβ2.你认为这个命题的条件①是否成立？如果认为不成立，请对条件进行必要的修改使①成立，同时保证该命题为真命题.

分析 例4的解法在于将条件①进行变形，然后判断是否成立，接着结合化简的结果，对条件进行修改.实践经验表明，条件探索题通常会涉及到较多的知识点，具有较强的综合性，需要学生有“逆向思维”，对学生的解题基本功的要求较高，此类问题的解答策略为“执果索因”，即从结论出发，逆向探求，分析要让结论成立，需要满足哪些条件，接着结合三角函数的图形及其性质实施逆向推导，便可以顺利地求出待求的条件.

2.结论探索题

这种探索题条件给出，但是没有给定结论或是结论的正确性需要确定.

例5 已知a>b>0，试分析asinα+basinα-b能否介于a-ba+b与a+ba-b之间.

分析 例5的问题情境可以转化为求自变量为sinα的函数y=asinα+basinα-b的值域问题.先求出用y来表示sinα的表达式，接着根据|sinα|≤1得到y的范围，这类问题的思维能力要求较高，重点考察并培养学生的探索、归纳、推理的能力，在解决方法上解决此类问题一般先假设结论的存在，然后再经历计算和推理，如果得到了符合条件的结论，则证实结论存在；如果推出了矛盾的结果，则结论为假命题.

3.规律探索题

此类问题的呈现方式是“若干图形”，包括了“图形的变化规律”，这类问题旨在引导学生对有关对象探索富含的规律性或不变性结论.

例6 设n∈N*，且sinx+cosx=-1，试分析sinx+cosnx的值.

分析 例6的命题与正整数有关，先用不完全归纳法对结果进行探索，接着证明的方法为数学归纳法.解此类问题应从题目中所给信息出发，正确地审题，从头脑中调用原有认知表象对问题进行自主分析与归纳，最后探索出结果，实现数学思维方法的提升.

4.存在探索型

此类问题一般是在确定的条件下判断某个数学对象是否存在.此题采用的方法是：观察函数表达式的特征――假设存在――演绎推理――得出结论.

例7 是否存在a，b∈R，使函数f（x）=2abcos2x-（a2-b2）sinxcosx的最大值为2，且有f（π4）=1.

分析 可以将函数化为一个三角函数的形式，再利用条件列出方程组求a，b的值.解决这类问题的策略是先假设需要探索的对象存在，从条件和假设出发进行运算、推理，若出现矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定存在.

综上所述，教师主导作用的发挥不应该只是一句口号，应该通过对习题的深入研究与归类，对教学的精心引导与组织，对学生参与的充分赏识与尊重等实际手段来达成，也唯其如此，以生为本的教学理念才能贯彻到位.