日本高考概率试题解析

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日本大学入学考试分为两次进行，第一次是每年一月份举行的国家统一考试，统一考试之后，每年2、月份各大学会根据不同情况进行自主命题，组织第二次考试概率统计内容为日本高考的重点内容之一，在第一次考试及第二次考试中考查的比例很高我国每年高考中涉及概率统计的大题，一般都难度适中，以考查简单概率问题以及期望等内容为主，而日本高考中的概率考查较我国难度较高，对逻辑思维、分析问题的能力要求较强，且通常会综合数学学科内其他知识来进行命题本文从21年日本高考概率试题中精选几道题型新颖、有代表性的试题进行解析，供各位同行参考

1对学科内交叉知识的综合考查

例1（神户大学21）动点P由图中正方形ABCD的A点出发，根据掷骰子的情况，按以下的规则向顶点移动：

如果朝上数字小于等于2，向平行于AB边的方向移动；

如果朝上数字大于等于，向平行于AD边的方向移动；

n为自然数，掷骰子2n次后动点P回到A点的概率记为an，回到C点的概率为cn回答以下问题

评析本题将概率、数列及极限综合在一起进行考查，题型新颖，值得深究第（1）问重点在于列出动点P回到A点的两种情况，则能很快得出答案，同时应注意a1为掷骰子两次后，P点回到A点的概率，同时也是下面将要考查的数列的首项第（2）问中提出了更高的要求，主要是对分类讨论及数学归纳的考查第（）问中则是概率与数列的深度结合，也考查到了通过递推关系求数列通项公式的一般方法，难度较大第（4）问中考查公比q

2对分类讨论、转化与化归等数学思想方法的考查

例2（东京大学21）

A、B两人进行抛硬币游戏，一枚硬币抛出后正反面朝上的概率分别为12，首先由A抛硬币，按以下的操作进行：

（）A将硬币抛出，如果正面朝上A计一分，硬币仍然由A拿着，如此反复，如果反面朝上，A、B均不加分，同时A将硬币交给B

（）B将硬币抛出，如果正面朝上B计一分，硬币仍然由B拿着，如此反复，如果反面朝上，A、B均不加分，同时B将硬币交给A

规定A、B不论谁先得到2分谁获胜比如，硬币一次正、反、正、正朝上，此时，A得1分，B得2分，则B胜出

（1）求A、B恰好同时投了n次硬币后A获胜的概率p（n

（2）求∑∞n=1p（n

解答

（1）硬币正面朝上记作，反面朝上记作，考虑和共n个，那么p（1=，p（=A获胜有以下两种情况：

…奇数个…奇数个…偶数个

评析本题主要考查了排列组合知识、概率知识、数列求和以及简单极限问题的求解，在知识网络的交汇处命题可见非常重视数学知识的内在联系及知识的综合性，同时此题对考生的逻辑思维、解决问题的能力要求较高，着重考查了分类讨论、转化与化归等数学思想方法第一问中“求A、B恰好同时投了n次硬币后A获胜的概率p（n” 要求考生能对这一问题进行深入细致的思考，通过分类讨论，知A获胜应有两类情况三种模式：即B得分、B先得1分、A先得一分第二问主要以考查数列求和为主，对计算能力要求较高

例（北海道大学21）动点P按以下规则进行移动，同时扔出两个骰子，将朝上点数的积记为X

（）如果X为4的倍数，P点沿x轴方向移动-1单位

（）如果X除以4余数为1，P点沿y轴方向移动-1单位

（）如果X除以4余数为2，P点沿x轴方向移动+1单位

（）如果X除以4余数为，P点沿y轴方向移动+1单位

比如，两骰子分别为2点、点向上，X=2×=1，1被4除余数为2，则P点沿x轴方向移动+1单位设P点初始位置在原点（，，回答以下三个问题：

（1）两个骰子同时掷一次后，求P点在（-1，的概率

（2）两个骰子同时掷三次后，求P点在（2，1的概率

（）两个骰子同时掷四次后，求P点在（1，1的概率

解答两个骰子向上点数分别记为A，B，同时掷出后积AB被4除的余数情况如下表：

依据上表，可知两个骰子同时掷出后：

（）P点沿x轴方向移动-1单位的概率为16=12

（）P点沿y轴方向移动-1单位的概率为6

（）P点沿x轴方向移动+1单位的概率为126=1

（）P点沿y轴方向移动+1单位的概率为46=19

（1）两个骰子掷一次后，P点移动到（-1，为上述（）情况，其概率为16=12

（2）两个骰子掷三次后，P点移动到（2，1必须经历沿x轴方向移动+1单位两次，沿y轴方向移动+1单位一次，因此上述（）发生2次，上述（）发生1次，其概率为C11219=127

评析本题主要考查n次独立重复试验的概率计算问题此题结合游戏对概率的计算、化归转化以及分类讨论等数学思想方法进行了考查第（1）、（2）问难度适中，第（）问难度稍有增加，需要用到待定系数法分别求出四个独立事件发生的次数

以实际问题为依托，综合考查数学知识以及数学阅读理解的能力

例4（同志社大学21）

国际足球大赛中，日本、A国、B国三国参加，优胜国按以下规则决出：

（）三国中两国进行比赛，胜出的一方与剩下的一国进行比赛，直到出现两连胜的国家，则此两连胜国家被判定为优胜国，大会结束

（）在每次比赛中，无平局，必须决出胜负

其中日本胜A国的概率为12，日本胜B国的概率为1，A国胜B国的概率为2第一场比赛中日本与A国比赛第二场比赛中日本胜出的概率为A，第三场比赛中日本胜出的概率为B，第四场比赛中日本胜出的概率为C，第五场比赛中日本胜出的概率为D

第（b）日本与A国的比赛中A国胜出，日本如果要胜出，接下来的比赛按如下进行：

评析本题以实际应用问题为依托，同时考查了条件概率、数列极限等知识，着重考查学生能否运用恰当的数学方法对实际问题进行转化分析、分类讨论的能力同时此题也考查了学生对数学文献的阅读理解能力，能否准确理解文本给出的信息也是尤其值得我们注意的一点日本在新学习指导要领（相当于我国课标）中对数学阅读及数学交流提出了明确的要求，这在我们以后的一线教学中也应得到应有的重视

作者简介刘，（1986-），女，陕西西安人，浙江师范大学教师与教育学院课程与教学论硕士研究生，主要从事数学课程与教学研究

杨光伟，（1968-），男，侗族，湖北恩施人，浙江师范大学教师与教育学院，教育学博士，硕士研究生导师，主要从事数学课程与教学研究