图形、数学与数据处理

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江苏高考近三年关于数学应用的考查对建模能力的要求逐渐降低，主要考查实际问题“数学化”后如何运用函数、方程、不等式等基础知识解决问题；结合图象理解函数与方程、不等式解之间的内在联系是高考热点，2012第17题再次以图象为载体考查了零点概念、方程有根的条件，值得注意的是对阅读理解和数据处理能力的考查要求呈上升趋势，这道题的难点是对“其中k与发射方向有关”的理解——k是变量，因而应视为“关于k的方程有正根”，处理字母数据的能力是解决本题的关键。此外就教材而言，概率与统计知识渗透的思想方法为应用问题提供了新的载体。以图形、数表等形式为背景出现的问题一般称为图表信息问题。

一、 以图形信息为载体的应用问题

【背景材料】 由函数作出其图象可直观反映数据变化规律，这是数学中的基本问题，从已知图形分析建立数学模型所需的信息是逆向问题，这是数形结合思想的两个方面。对图形的认识和理解是数学的基本能力。新课标强调用数学知识解决生活中的问题，对学生而言，一节课的听课效果隐藏着什么样的科学规律？

【命题分析】 推而广之，我们还可探索如何根据生物钟规律合理安排自己的学习生活。

【例1】 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t（分钟）之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y=loga（x-5）+83（a>0且a≠1）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳.

（1）试求p=f（t）的函数关系式；

（2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由.

（2）t∈（0，14]时由-14（t-12）2+82≥80得t∈[12-22，14].t∈[14，40]时由log13（t-5）+83≥80得5 点拨 类似问题考查”待定系数法”与解不等式的知识，与2012江苏高考17题对照，会提升我们对图形背景问题的领悟，拓宽分析和解决问题的思路。

二、 以数表信息为载体的应用问题

【背景材料】 苏格兰杂货商人格兰特于1662年对伦敦的死亡记录进行整理和分析写成了《关于死亡公报的自然和政治观察》一书，揭示了人类一切疾病和事故在全部死亡原因中占有稳定的百分比。

【命题分析】 人类的婚姻、死亡、犯罪等诸多方面存在数学常数，这是统计学的重大成就之一，由此推动了统计学的诞生与发展。而今数据统计与处理的应用已经渗透到社会、科学、生活的各个方面，了解管理决策与数学科学密切相关，有助于我们成长为一个有素质的公民。

【例2】 某县中规定家到学校的路程在10里以内的学生可以走读，因交通便利，所以走读生人数很多.该校学生会先后5次对走读生的午休情况作了统计，得到如下资料：

①若把家到学校的距离分为五个区间：[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]，则调查数据表明午休的走读生分布在各个区间内的频率相对稳定，得到了如右图所示的频率分布直方图；②走读生是否午休与下午开始上课的时间有着密切的关系. 下表是根据5次调查数据得到的下午开始上课时间与平均每天午休的走读生人数的统计表.

（1） 若随机调查一位午休的走读生，其家到学校的路程（单位：里）在[2，6）内的概率是多少？（2） 如果把下午开始上课时间1：30作为横坐标0，然后上课时间每推迟10分钟，横坐标x增加1，并以平均每天午休人数作为纵坐标y，试根据表中的数据求平均每天午休人数与上课时间x之间最佳拟合关系（线性回归方程）；（3） 当下午上课时间推迟到2：20时，预测家距学校路程在6里以上的走读生中约有多少人午休？

（3） 下午上课时间推迟到2：20时，x=5，=890，890×（0.05+0.025）×2=133.5，

故家距学校的路程在6里路以上的走读生约有134人.

点拨 本题来源于我们最熟悉的生活背景，着重考查阅读理解与数据处理能力，考查精确计算与估算，解答过程对分析能力的要求逐步提高。

三、 拓展应用

【背景材料】 随着生活水平的提高，私家车大量增加引发的交通事故也每日发生。

【命题分析】 数学知识为交通事故的侦查取证提供怎样的帮助呢？

【例3】 一次交通事故只能确认肇事逃逸的是本市出租车，该市有红色出租车和蓝色出租车两家公司，蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，该出租车是红色，警察对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，警察认为红色出租车具有较大的肇事嫌疑，请问这对红色出租车公平吗？说明理由.

从表中可以看出，证人说出租车是红色且它确实是红色的概率为120290≈0.41，是蓝色的概率为170290≈0.59. 由此以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.

点拨 如何对繁乱的数据科学化处理需要较强的数学应用能力，教材涉及的表格化处理是基本方法之一，在函数与曲线、概率与统计等内容中多有体现，其优点是便于发现相关数据的内在规律。

牛刀小试

1. 甲、乙两人对某县的养鸡场连续六年的规模进行调查，得到如下两个不同的信息图：

A图表明该县从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡，第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡；B图表明该县由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.据此解答：

（1）第二年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？

（2）哪一年的规模最大？

2. 某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，解答下列问题：

（1）求物理成绩低于50分的学生人数；

（2）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）；

（3）从不及格的学生中任选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率.

（作者：吉冬林 徐德清 江苏省邗江中学）