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【摘 要】本文研究了几类可降阶的二阶微分方程,并将其求解理论推广为高阶微分方程.为更深入的探讨了典型的可降阶的高阶常微分方程打下基础,分析方程特点,对于不同类型的高阶方程进行科学合理的降阶,并对以讨论的方法进行归纳总结。
【关键词】高阶方程;线性微分方程;降阶
在应用常微分方程解决问题时,常常遇到应用高阶常微分方程的形式,而二阶常微分方程又是典型的高阶常微分方程,许多高阶微分方程的解法和性质都是二阶微分方程的推广,二阶常微分方程的研究与解法就显得尤为重要了,下面介绍几种典型的二阶微分方程。
1.y"=f(x,y')型的微分方程
方程特点:方程的右端不含y的常微分方程
方程解法:设y'=p,则y"=p',代入原方程得=f(x,p)
这是一个一阶微分方程,根据方程的特性进行分析,得出方程的解法,并因此求出以p为未知函数的微分方程的所有解,再次积分即可求出原方程的解.
例1:求方程(1+x
)y"=2xy'
y
=1,y'
=3 的解.
分析:方程(1+x2)y"=2xy'经变形整理得y"=,观察方程的右边发现方程的右端不含y,所以符合y"=f(x,y')方程的特点
解:令y'=p,则y"=,则方程变为,(1+x)=2xp,
即:= dx
所以y'=p=C1(1+x2)因为y'│=3所以y'=pC1=3 则y=x3+3x+C2
因为y│=1,所以C2=1,所以所求特解为y=x3+3x+1.
2.y"=f(y,y')型的微分方程
方程特点 方程的右端不含x.
方程解法:令y'==p
则y"=,由复合函数求导法则得y"==・=p,代入原方程得p=f(y,p)这个方程是关于y,p的一阶方程,假如可以求得这个方程的通解是y'=p=φ(y,C1),分析方程的特点,此方程是一个变量可分离方程,将方程分离变量后积分得∫dy=x+C(C1,C2 为任意常数),即为原方程得通解.
注:在此方程在求解的过程中采用了引进新的变量的方法进行降阶,方法简单实用.
例2:解方程y"=y'+(y')3.
分析:方程中不含x,符合y"=f(y',y')型微分方程,按照方程的求解方法进行求解.
解:令y'=p,则y"=p,即p=p(1+p2) 若p≠0,
则=1+p2,arctan p=y+C1,即p=tan(y+C1)?=dx,积分得lnsin(y+C)=x+C,即sin(y+C1)=Cex,或y=arcsin(Cex)-C1,(C1,C2 为任意常数).若p=0,则y=C包含在通解中.
此类方程也可以将其进行推广为不显含自变量x的方程的一般形式为f(y,y',…,y(n))=0
3.形如F(x,y,y',y")=0 的二阶恰当导数方程
方程特点:方程的左侧恰好为某个函数Φ(x,y,y')对x的导数,也就是F(x,y,y',y")=Φ(x,y,y')=0
方程解法:应用已有的微分公式,可以使原方程降低一阶
Φ(x,y,y')= C,再对降阶后的微分方程进行分析,即可探求适合较低阶的微分方程的求解方法.
要准确的判断出某二阶微分方程F(x,y,y',y")=0为恰当导数方程,需要掌握一些常用的微分公式,现介绍如下:微分法常用公式
ydx+xdy=d(xy),=d(),
=d(),=dln(x+y).
=dln
,=darctan().
例3:求方程yy"+y'2=0的通解.
分析:对方程的左边采用观察法进行分析,发现左端恰好是符合微分式d(yy')=yy"+y' ,所以此二阶微分方程是恰当微分方程,才有此方法可以将二阶微分方程化为一阶微分方程,分析方程的特点,即可求出方程的解.
解:将方程写成(yy')=0 ,故有yy'=C1,即ydy=C1dx,积分后得通解y2=C1x+C2其中C1,C2 为任意常数).
注意:这是一个高技巧的例题,解决问题的关键在于科学的降阶方法.
同时此类型的方程也可以推广到一般的形式即为F(x,y,y',y",…y(n))=0,此方程的左侧恰好为某个函数Φ(x,y,y',…y(n-1))对x的导数,也就是Φ(x,y,y',…y(n-1))=0 的形式,其解法不做介绍。
4.二阶线性方程的幂级数解
对于带初值条件类型的二阶齐次线性方程+p(x)+q(x)y=0,y(0)=y,y'(0)=y'
这里x0=0,否则可引进新变量t=x-x0化为t0=0.
有如下定理
定理1:假使方程当中的系数 p(x),q(x)或xp(x),x2q(x)能够扩展成为收敛区间为x
这里a为待定常数.
定理2:n阶贝塞尔方程x+x+(x-n)y=0 (n为非负常数),有特解y=
J(x),
y=
J(x), n 阶贝塞尔方程中有通解y=C1Jn(X)+C2J-n(X),其中C1,C2为任意的常数.Jn(X)
(或J-n(X))是根据贝塞尔方程所定义成的特殊函数,成为n(或-n)阶(第一类)贝塞尔函数.
例4:求方程x2y"+xy'+(4x2-)y=0的通解.
分析:此方程是一个典型的二阶齐次线性微分方程,分析方程的特点后选作t=2x为新的变量,经过代换可以得出方程通解.
解:引入新的变量t=2x,我们有 =・=2,=(2)・=4 (下转第166页)
(上接第30页)将上述关系式代入原方程,得到t+t+(t-)y=0 ,这是n=的贝塞尔方程.通解可表达为y=C1J(t)+C2J(t),代入原来变量,就得到原方程的通解y=C1J(2x)+C2J(2x),其中C1 , C2是任意常数。
以上对二阶微分方程的解题技巧进行了论述,发现通常的方法是将二阶的常微分方程降阶,而降阶的主要采用了替换法,使方程将为初等微分方程,然后按照初等微分方程的求解方法进行求解,得到原方程的通解.但是由于我们现有的知识水平有限,不能为所有二阶方程采用降阶方法解决,有待于进一步研究总结。