例析立体图形的展开与折叠

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我们生活在丰富多彩的世界里，每天都能看到许多几何图形，有平面的，有立体的.在几何世界里，许多立体图形的问题都可以转化为平面图形的问题，从而利用平面图形的知识来解决.下面就让我们举几个实例来探究这类问题的一般解法吧.

例1如图1，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后，与“助”字相对的字是_______．

解析：假设标“好”的这个面为底，左面是标“新”的面，则右面是标“程”的面；上面是标“手”的面，前面是标“助”的面，后面是标“课”的面.即与“助”字相对的字是“课”.

点评：解答这类问题的一般方法是先假定一个面为底，则某一个面在展开前的“方位”就很好确认了.

例2如图2，将一正方形纸片按下列顺序折叠，将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，再将纸片展开，得到的图形是（ ）.

解析：这道题主要考查同学们的动手操作能力.事实上，只要拿张纸，按照要求折叠，就比较容易得到结果.通过具体操作或展开想象，不难发现答案选C.

点评：看懂操作步骤以及折叠顺序，特别要注意折叠方向，确保虚线部分要覆盖在实线上.

例3如图3，玩具厂设计师要利用下面一些型号的塑料板，制成可以相互组合的几何体.请你帮助设计尽可能多的几何体，并用平面展开图表示.

解：这些型号的塑料板可以组合成很多的几何体，在这里仅举3种，供同学们参考，如图4所示.

点评：这是一道开放型试题，通过设计各种立体图形的平面展开图，进一步建立同学们的空间观念.在设计的过程中，要注意其中的数量关系.

例4下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）.

解析：逐一排除，三棱柱的侧面是由3个长方形组成，底面的2个三角形分别在侧面的两端，只有A选项满足.B选项的底面是一个三角形，其侧面是3个三角形，它是正三棱锥的平面展开图；同样，C选项是正四棱锥的平面展开图；D选项的侧面是由3个长方形组成，但底面的2个三角形都在侧面的同一端，经过折叠不能围成三棱柱，故选A.

点评：准确把握三棱柱的平面展开图的特点是解题的关键.在解题时，同学们应让自己插上想象的翅膀，才能使困难迎刃而解.

例5图5是一个食品包装盒的平面展开图.

（1）请写出这个包装盒的多面体形状的名称；

（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（侧面积与两个底面积之和）.

分析：可以将展开图再折叠还原成多面体；也可以看上下两个底面的多边形是正六边形.由图示的数据可以算出每个侧面的面积为ab；全面积等于侧面积加上两个底面积即可.

解：（1）这个多面体是正六棱柱；

点评：本题综合性较强，需要同学们有一定的想象能力和计算能力.