拨云见日说压轴(全文)

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在一些同学的眼中,中考数学试卷中的压轴题,尤其是动态类压轴题就像神秘的珠穆朗玛峰那般云遮雾绕、高不可攀.其实云遮雾绕是假象,高不可攀非实情,这类试题终端虽高起点却低,图虽有动关系却静.只要我们循题阶而渐进,善联想且勇尝试,就可如拨云见日般洞察其妙机,把握其精微.

经典试题

(2009上海压轴题)已知∠ABC=90B=2,BC=3,AD∥BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足=(如图1所示).

(1)当AD=2,且点Q与点B重合时(如图2所示),求线段的长;

(2)在图1中,连结AP.当AD=,且点Q在线段AB上时,设点B,Q之间的距离为x,=y,其中SAPQ表示APQ的面积,SPBC表示APQ的面积,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域;

(3)当AD

分步导引

点拨1:第(1)题是压轴题中的起步题,依据题目提供的条件,不难发现两个等腰直角三角形ABD,PBC,从而可方便地求得PC的值.

解:(1) AD∥BC,∠ADB=∠DBC.

AD=AB=2,∠ABD=∠ADB.∠DBC=∠ABD.

∠ABC=90∠PBC=45?

=,AD=AB,点Q与点B重合,PB=PQ=PC.

∠PCB=∠PBC=45?

∠BPC=90?

在Rt BPC中,PC=BC•cosC=3os45剑?

点拨2:①因为x为点B,Q之间的距离,y=,而AQ=2-x,BC=3,作出AQ与BC边上的高.设边AQ与BC上的高分别为 a,b,则y==.观察这个关系式,我们可以发现解题的关键是求的值.利用平行线的性质不难求得的值.

②求自变量取值范围的一般方法是,先求出其自变量的两个极值,再确定取值范围.依据条件可判断,点P在线段BD运动时始终满足∠QPC=90钡悖性硕C与BD垂直时x 取最小值0,当点P运动点D时,x取最大值,求出这个最大值,问题就迎刃而解了.

③如果在这里思维受阻,可以先放一放,在解决后面的问题受到启发后,再回过头来考虑自变量的取值范围,那时可能会有居高临下,豁然开朗的感觉.

解:(2) 过点P作PEBC,PFAB,垂足分别为E,F.

∠PFB=∠FBE=∠BEP=90嗨谋咝BEP是矩形.

PF∥BC,PE=BF.

AD∥BC,PF∥AD.=.

AD=,AB=2,=.

AQ=AB-QB=2-x,BC=3,SAPQ=PF,SPBC=PE.

=,即y=.

函数的定义域是0≤x≤. 理由如下:

当点P运动到PC与BD垂直时x取最小值0,当点P运动到点D时,x 取最大值.

作PHBC于H,可证ADQ∽HDC,则=,即=,解得x=.

函数的取值范围是0≤x≤.

点拨3:从图形上我们可猜想∠QPC=90っ髡飧霾孪刖托枰乖煲桓鲇搿PC相关的直角.过点P作PMBC,PNAB,垂足分别为M,N,则有∠MPN=90ぁPC=90恍柚ぁPM=∠QPN.发现并证明RtPCM ∽RtPQN ,即可利用等量代换证明猜想.

解:(3) 过点P作PM BC,PNAB,垂足分别为M、N.

易得四边形PNBM为矩形,PN∥BC,PM=BN,∠MPN=90?

AD∥BC,PN∥AD.=.=.

=,=.

又∠PMC=∠PNQ=90t PCM ∽ RtPQN.

∠CPM=∠QPN.

∠MPN=90唷PM+∠QPM=∠QPM+∠QPM=∠MPN=90础PC=90?

方法综述:

①解决动态几何题的关键“技术”在于以静制动.本题的第(1)题在方法上可以视为一个过渡,即提示我们把动态问题转化为静态问题.

拨云见日说压轴