以三角函数变化问题为例谈高中数学复习策略

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三角函数是高中数学的重点内容，也是高考的热点问题.那么，三角函数变换有哪几种类型？解题中常见的方法有哪些？本文就该话题进行简单的探讨，望能有助于三角函数变化教学实践.

一、三角函数变化问题例析

1.“角”的变换

解决三角函数的问题，角的转化是常见类型，虽然常见，但却包罗万象，有倍角、半角、和角、差角、凑角、余角、补角等等，通过角的变换这一纽带，转变函数的运算符号和名称，或是次数，促使问题简单化、“已知化”，通过转化顺利求解原问题.在解决具体问题时，应注重拆和拼的技巧.如α=（α+β）-β=β-（β-α）=α+β2-β-α2.

例1已知3sinβ=sin（2α+β），求证tan（α+β）=2tanα.

评析我们可以将角进行转换：β=α+β-α；2α+β=α+β+α.从3sinβ=sin（2α+β）这一已知式出发，得到3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），再由此出发进一步推导就可以得证.

2.“名称”变换

在学习中经常会遇到名称不同的三角函数，为此“名称”变换是三角函数问题中最常见的类型.首先应将其转换成同名的三角函数，“切割化弦”、“齐次弦化切”是我们高中数学最为常见的函数名称转化策略，突破口在于“化函数”或者是“化形式”，从三角函数常见性来看，“正弦”和“余弦”的应用最广，是三角函数的基石，“正切”也很常见.

例2（江苏卷・2010年）锐角三角形ABC中，三个顶角A，B，C对边分别为a，b，c，若已知ba+ab=6cosc，则tanCtanA+tanCtanB=.

评析三角函数与解三角形相结合.从要求的式子着手，将切化弦，变形成sin2CsinAsinBcosC，将原式用正弦定理转化为sinAsinBcosc=16（sin2B+sin2A）代入化为6sin2Csin2B+sin2A，再将原式用余弦定理化为a2+b2=32c2即可求得答案.此题作为2010年江苏高考填空13题相对要求较高，但是都属于三角及解三角形的常规题型的结合.

例3（全国卷・2013）设θ为第二象限角，若tan（θ+π4）=12，则sinθ+cosθ=.

评析本题可先通过计算tanθ然后借助角的范围确定sinθ与cosθ.

3.“形”变换

从具体的三角函数问题来看，运算过程中需要将代数式中的常数进行变换，最常见就是转化常数“1”.

例4（辽宁高考文科・2009）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）.

A.34 B.54 C.-34 D. -54

评析从已知条件分析可以看出这一考题需要进行“名称变化”（弦化切）和“形变换”（将分母“1”化为sin2θ+cos2θ）.

例5已知tanθ=2，求值：

（1）sinθ-cosθsinθ+cosθ； （2）sin2θ-cos2θ.

常规思想：利用同角三角函数的关系，求出sinθ，cosθ，但是由于θ在一、三象限，所以还要分类讨论，比较麻烦.

简便思想：（1）分子分母同除以cosθ，转化为tanθ-1tanθ+1；

（2）“1”的代换，最终转化为tan2θ-1tan2θ+1.

二、高中数学复习建议

高中数学复习尤其是高三时间紧、任务重，没有科学的复习方法，难以帮助学生形成有效的联结，透过上述三角函数变化问题，笔者认为高三复习应注重以下几点：

1.科学制定计划，确保复习思路清晰化

既然时间紧，那么我们的复习思路必须清晰，确保走好每一步，应将一类问题放到一块，提高专题训练选题的科学性，站在学生的视角，通过问题的呈现形式差异将知识点、方法囊括进来，将复习课上成是引导学生自主应用规律和方法解决实际问题的探究课，通过具有联系问题的解决，实现方法和技能的沉淀.例如上文中三角函数变化的方法，通过具体的例题进行训练.

2.注重讲评策略，形成有效的知识网络

（1）重基础、勤应用.我们学生之所以在解题时出现障碍，其根本原因在于基础不牢.学习有一个从认识到理解再到应用的过程，对于复习而言，首先就应该引导学生顺利完成基础知识、基本方法的复认.如何复认和回忆呢？笔者在高三复习教学中通常是设置具体的问题情境（例题），学生分析例题、解题的过程是应用知识的过程，实现知识、方法的复认与应用同时施展.

（2）归类、编网.孤立的知识点复习记忆效果是不明显的，数学是一门逻辑性和系统性较强的学科，我们在高三复习时，应从知识的特点和方法的特点出发，注重知识点的重组和整合式复习，以学生的发展为立足点，打破教材中原先的章节界限和知识学习顺序，横纵交错、条块结合，将同类知识、相近的数学方法囊入到一块进行复习，提高知识复习的系统性.学生在解决同一类问题的过程中实现对某个概念、方法更全面的理解；学生对同一个问题思考不同的方法，有效提升了思维的发散度.

3.关注学生的复习过程，暴露并解决问题

学习是一个复杂的、反复的过程，对于复习亦是如此，虽然知识和方法都是“旧”的，但是学生出错是教学常态，我们教师在备课和制卷子时，所看到的是问题几种正确的解法和最佳的解法，但未必是学生在解题时所用的方法.笔者认为复习时应重点关注学生的解题过程和复习过程，要舍得花时间让学生自己去分析解题出现错误的原因，学生出现了错误，我们不要简单地灌输正确的解法，学生自主分析错误原因的过程实际上是一种解题反思，是暴露自己解题过程中出现的障碍，通过自主分析和暴露过程，我们才能发现其错在哪里，纠错策略的实施才具有针对性，有效提升复习的效率，同时也培养了学生自主反思的意识和能力，很多时候学生只要回头望一望，正确的方法就出来了.