浅析初中数学几种解题方法

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中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2016）10-0280-02

数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。那么，怎样才能在考查中解答好数学题呢？下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，这些方法也是中学教学大纲要求掌握的。

1.配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

例题：用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到（）

A.（x+2）2=5B.（x-2）2=5C.（x-2）2=3D.（x+2）2=3

【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。

【解】将方程x2+4x+1=0，

移向得：x2+4x=-1，

配方得：x2+4x+4=-1+4，

即（x+2）2=3；

因此选D。

2.因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

例题：若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）

A.-2B.2C.0D.1

【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。

【解】x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），

即x2+mx-3=（x-1）（x+3），

x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，

m=2；

因此选B。

3.判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

注意：①=b2-4ac0，方程有两个不相等的实数根。

例题：当m为什么值时，关于x的方程（m2-4）x2+2（m+1）x+1=0有实根。

【分析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m2-4=0和m2-4≠0两种情形讨论。

【解】当m2-4=0即m=±2时，2（m+1）≠0，方程为一元一次方程，总有实根；

当m2-4≠0即m≠±2时，方程有根的条件是：

=[2（m+1）]2-4（m2-4）=8m+20≥0，解得m≥-52

当m≥-52且m≠±2时，方程有实根。

综上所述：当m≥-52时，方程有实根。

4.待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

例题：

例1.已知函数y=mx2+43x+nx2+1的最大值为7，最小值为-1，求此函数式。

【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到"判别式法"。

【解】函数式变形为： （y-m）x2-43x+（y-n）=0， x∈R， 由已知得y-m≠0

=（-43）2-4（y-m）（y-n）≥0 即：y2-（m+n）y+（mn-12）≤0 ①

不等式①的解集为（-1，7），则-1、7是方程y2-（m+n）y+（mn-12）=0的两根，

代入两根得：1+（m+n）+mn-12=049-7（m+n）mn-12=0

解得：m=5n=1或m=1n=5

y=5x2+43x+1x2+1或者y=x2+43x+5x2+1

此题也可由解集（-1，7）而设（y+1）（y-7）≤0，即y2-6y-7≤0，然后与不等式①比较系数而得：m+n=6mn-12=-7，解出m、n而求得函数式y。

5.几何变换法

在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。

例题：I.平移变换 把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。

一般有2种方法：（1）平移已知条件（2）平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。

例：在三角形ABC中，BD=CE，求证：AB+AC大于AD+AE。这是典型的平移条件问题。

【解】我们把三角形AEC平移到如图所示的FBD位置。这里用了BD=EC的条件 。设AB与FD交于P

这样，容易构造两个全等的三角形 AEC，FBD 由于

PA+PD大于 AD

PF+PB大于 BF

两式相加 PA+PB+PD+PF大于AD+BF

又因为BF= AE，AC= FD

所以AB+AC大于AD+AE

II.旋转变换 把平面图形绕旋转中心，旋转一个定角，使分散的条件集中在一起。

例：如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠A=90，M，N为斜边BC上两点且∠MAN=45，求证：BM^2+CN^2=MN^2

【解】要证BM^2+CN^2=MN^2，容易想到勾股定理.但是BM，CN，MN都不在同一个三角形上，所以，我们就设法将BM，CN，MN移到同一三角形上。考虑到ABC是等腰三角形，且是直角三角形，将ABM绕点A逆时针旋转90.使AB与AC重合.得到ACD ，则NCD为直角三角形

只需证明MN=ND即可 因为∠MAN=45，所以∠BAM+∠NAC=45 ，即∠NAD=45

又因为AM=AD

所以AND≌AMN

所以MN=ND，在直角NDC中，有ND^2=NC^2+DC^2，所以BM^2+CN^2=MN^2

III.对称变换 通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：（1）出现了明显的轴对称、中心对称条件时。（2）出现了明显的垂线条件时。

总的来说，要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题方法与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。