解题锻炼速度 反思成就高度

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很多同学认为，审题、探索解题方向、实现解题目标是解决数学问题的全部环节，只要求出了最终答案，就万事大吉了.于是，不停地做题就成了数学学习的全部过程.但与此同时，我们也会听到很多类似的抱怨：“为什么我做了那么多数学题，数学成绩却总是停滞不前呢？”

从本质上讲，仅仅致力于做题只是一种重复训练，它确实能让我们解题更顺畅，但对解题能力的真正发展却不能起很大的作用.著名数学教育家G・波利亚讲过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾.”所谓回顾，就是指解题后的反思.那我们该如何进行反思呢？

解完一道题，我们首先应该对这道题作进一步的思考：答案是否合理？解题过程是否使用了题中所有的条件？思路是否严密？题目所要求的问题都解决了吗？……反思整个解题过程，能使我们及时修正解题中出现的错误.

例1 [2012年高考数学陕西卷（理科）第8题] 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有

（A） 10种 （B） 15种 （C） 20种 （D） 30种

解析： 由题目可知先赢三局者获胜，所以很多同学理解成打五局的比赛.如果甲获胜，他只要在五局比赛中赢三局就可以了，因此甲胜乙的可能情形有=10种.同理，乙胜甲对应的可能情形也有=10种.因此所有可能出现的情形共有20种，选C.

反思： 答案确实是20种，但我们有必要问一句：一定是赛五局吗？按比赛规则，如果甲从第一局起连赢三局，经过三场比赛就获胜了.可见，“先赢三局者获胜”意味着谁先赢三局谁就取胜，不一定要打满五局.

若设甲胜乙，比赛结果可以分3种： 3 ∶ 0，3 ∶ 1，3 ∶ 2.其中3 ∶ 0共有1种情形； 3 ∶ 1共有=3种情形：甲在前3局中输了1局，第4局获胜； 3 ∶ 2共有=6种情形：甲在前4局中输了2局，第5局获胜.共计1+3+6=10种情形.同理，乙胜甲也有10种情形.因此所有可能出现的情形共有20种.

例1中的解法求得了正确答案，可以算是“瞎猫碰到了死耗子”.如果我们把这种解法改进一下，也能使之成为正确解答.

“先赢三局者获胜”意味着比赛结束时，最多需要比五场.以甲胜乙为例，我们可以把甲获胜看作从5个大小相同且编号分别为1，2，3，4，5的小球中任取3个，则甲获胜的情形有=10种.同理，乙获胜的情形也有10种，故所有可能出现的情形共有20种.通过这样的思考，我们就能把例题中“无厘头”的解答变得道理十足，并顺势得出一个恒等式：1++=.推广到一般形式，则有+++…+=，证明该式时只要将看成即可！反思的作用由此可见一斑.

数学知识之间是纵横交错、相互联系的，所以很多数学问题的解法并不唯一.解完题后，还应该从多个角度思考，看看是否还有其他解法.通过探求一题多解，可以防止思维定势，找出最合适的解题方法，并及时总结各类解题技巧，以便在今后更快捷地解决问题.

例2 [2012年高考数学全国新课标卷（理科）第13题] 已知向量a，b的夹角为45°，且a=1，2a-b=，则b= .

解析一： 已知条件为2a-b=，a=1，且向量a，b的夹角为45°，只要把式子2a-b=两边同时平方，就可以得到一个关于b的二次方程并求出b.2a-b2=（）2即4a2-4a・b・cos45°+b2=10，代入a=1，整理得b2-2b-6=0.因为b≥0，所以b=3 （b=-舍去）.

反思： 由于向量具有代数和几何的双重属性，所以求解向量问题时，我们还可以建立坐标系，用代数方法解决；或构造几何图形来解决.

解析二： 在平面直角坐标系中，令a=，b=.因为向量a，b的夹角为45°且a=1，所以可设点A（1，0），B（t，t）（t>0），故2a-b=（2-t，-t），2a-b==，整理得2t2-4t-6=0，由t>0可得t=3 （t=-1舍去），所以b==3.

解析三： 如图1所示，根据题意构造ABC，使=2a，=b，∠BAC=45°.由题意可知=2a-b，所以CB=.由余弦定理可得CB2 =AB2+AC2-2AB・AC・cos45°，设b=x，代入a=1，有10=4+x2-2・2x・cos45°.因为x=b≥0，所以x=3（x=-舍去），即b=3.

反思： 例2涉及向量的数量积和向量的模的运算.解析一直接利用公式a・b=a・b・cosθ与b2=b2求出答案. 解析二通过建立坐标系，把问题转化为坐标运算；解析三根据题设信息构造三角形，运用余弦定理来求解.不同的解法有不同的优点，套用一句广告语：“总有一款适合你！”

解完一个题以后，我们最好想一想：命题的逆命题是否成立？题中有没有蕴含规律性的内容？问题经过拓展，能否得到一般性的结论？养成这种“打破砂锅问到底”的习惯，有助于提升思维深度，提高认知水平.

例3 [2011年高考数学山东卷（理科）第22题第（1）问] 已知动直线l与椭圆C：+=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，且OPQ的面积SOPQ =， 其中O为坐标原点.证明： +和+均为定值.

解析： 如图2所示，当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，此时x1=x2，y1=-y2.因为P（x1，y1）在椭圆上，所以+=1 （①）.又SOPQ=2・・x1・y1= （②），x1≥0，y1≥0 （③），联立①②③可解得x1=，y1=1. 此时+=3，+=2.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m. 由OPQ存在可知l不过原点，所以m≠0.将y=kx+m代入+=1，整理得（3k2+2）x2+6kmx+3（m2-2）=0.因为直线l与椭圆交于P，Q两点，所以Δ=36k2m2-4（3k2+2）・3（m2-2）=24（3k2+2-m2）>0，即3k2+2>m2.

又由韦达定理得x1+x2=-，x1x2=，所以PQ=・=・.因为点O到直线l的距离d=，所以SOPQ=PQ・d=・・・==，整理得3k2+2=2m2.因为m≠0，所以3k2+2=2m2满足3k2+2>m2.

将3k2=2m2-2代入+=（x1+x2）2-2x1x2=-2-2・，可得+=3. 故+=（3-）+（3-）=4-・（+）=2.

综上所述，+=3，+=2，均为定值，结论成立.

反思： 如果做完例3就把它丢在一旁，那真是非常可惜.观察题目，它似乎包含了一些规律性的内容，因此，我们有必要自问自答以下几个问题：

（1） 只要OPQ的面积为定值，+和+就一定为定值吗？通过研究我们可以发现，若SOPQ≠，就不一定能得出3k2+2=2m2，则+和+不一定为定值.

（2） SOPQ=，+=1，+=3，+=2这些数据与椭圆标准方程+=1中的a，b是什么关系？这个问题体现了由特殊到一般的思考方式.如果推广到一般情况，似乎能得出“当SOPQ=ab时，+=a2，+=b2”的结论.

（3） 如果椭圆方程为+=1，那么当OPQ的面积为多少时，+和+就一定为定值？这个定值是多少？如果上一问的结论成立，则这一问的结论显而易见.

（4） 如果+或+取定值，OPQ的面积能否为定值？如果是定值，这两个定值与椭圆标准方程+=1中的a，b是什么关系？这是对原题的反向提问，也是对问题的逆向思考.事实上，只有当+=a2或+=b2时，OPQ的面积才能为定值，且满足SOPQ=ab.

通过对这几个问题的思考和验证，我们可以得到以下结论：当且仅当SOPQ=ab时，+=a2，+=b2. 于是我们继续拓展思维：在双曲线或抛物线中是否存在类似的结论呢？

经常对问题作出合理的猜想和适度的拓展，势必能提高我们分析问题和解决问题的能力，更重要的是能让我们形成创新思维，提升主动提出问题的能力.

数学问题的表现形式是多种多样的，如果孤立地看，这些题目像一粒粒沙子，很难聚合起来.要找出题目间的联系，把它们如同珍珠项链一样串起来，更需要通过反思，逐步形成自己的知识网络.

（1） 解题后要反思题目的实质，比较手中的题目和以前解过的题目，看看它们是否存在联系.如果有联系的话，解法又有什么差别？能不能把它们的解法归纳到同一种题型中去？

比如例2中讲到的处理向量问题的三种方法，就是我们通过反思得到的解决向量问题的通法.

（2） 对于我们做过的那些“形似而神不似”的数学问题，在总结时要注意比较问题的区别和解法的差异，以便更有针对性地解决问题，避免错解的发生.

比如， f（x）

（3）反思问题能否拓展时，我们可以从以下几个方面入手：

①观察问题中数据间的关联，改变条件中的数据，考虑类似的结论是否成立.如例3中反思的问题（1）和（3）.

②判断命题的逆命题是否成立，即把问题的结论看成条件，把条件看成结论，再考虑命题能否成立.如例3中反思的问题（4）.

③寻找问题的规律，想想问题是否具有普遍意义.比如，题中的数据能否用一般的字母来代替？如果改变解析几何问题中的圆锥曲线（如将椭圆换为双曲线），问题的结论是否仍旧成立？

反思是数学解题过程中不可或缺的重要环节.对解题思路、解题过程的反思，可以帮助我们判断解题过程是否正确；对解题方法的反思，可以促使我们优化解题过程，拓宽解题思路；对问题的拓展与推广的反思，可以让我们加深对问题的理解，提升思维高度；对各类题型的反思，可以帮助我们总结、归纳、辨别与此相关的问题，达到做一道题会一类题的效果.可以说，反思的实质，就是通过对有限道题目的学习，去领悟那种解无限道题目的数学机智.