探析抽象函数

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抽象函数是没有给出具体解析式的函数的一个统称，作为考察函数性质、函数概念、函数图像的一个有效载体和手段，近年来在高考中多有涉及，因抽象函数问题脱离了具体函数解析式，往往让人难以下手，本文将从抽象函数的由来、抽象函数的考察内容和解决抽象函数问题的常用方法等几个方面做一剖析。

1 抽象函数的由来

抽象函数不是命题人凭空捏造出来的，一般情况首先要有具体函数，然后将函数性质或函数解析式满足的某种特性以抽象函数的形式表现出来，下面我们来看从高中阶段涉及的一些初等函数或函数性质中抽取出来的抽象函数：

（1）f（x）+f（y）=f（xy）源于对数函数及对数运算性质logaM+logaN=logaMN；

（2）f（x+y）=f（x）f（y）源于指数函数及指数运算性质aman=amn

（3）源于函数周期性的抽象函数包括f（x+T）=f（x）周期为T，f（x+a）=f（x+b）周期为|a-b|，f（x+t）=-f（x）周期为2t，f（x+t）=1f（x）周期为2t，f（x+t）=-1f（x）周期为2t等等。上述函数周期的推导下文将在常用方法中举例介绍。

（4）源于三角函数考察对称性和周期性关系的抽象函数，如y=f（x）满足关于直线x=a对称且关于点（b，0）对称则f（x）为周期函数且周期为4|a-b|，y=f（x）满足关于直线x=a对称且关于直线x=b对称则y=f（x）为周期函数且周期为2|a-b|，f（x）满足关于点（a，0）（b，0）都对称，则f（x）为周期函数周期为2|a-b|。

（5）源于函数对称性的抽象函数f（a+x）=f（b-

x），则f（x）关于直线x=a+b2对称。

以上都是我们经常见到的抽象函数的形式，只要我们能将常见的初等函数定义和性质熟练掌握，并配合一定的技巧解决抽象函数问题还是有迹可循的。

2 抽象函数考察内容与考察形式

以抽象函数的形式考察函数，形式比较灵活，并且能涉及到函数的多数性质，如定义域、周期、对称性、单调性等。下面我们用例题的形式来做一说明。

（1）定义域的考察。考察定义域主要是基于对对应法则f和自变量x的理解：

例1、函数f（x）定义域为（1，2），则f（2x-1）+f（x+2）定义域为。

析：由已知定义域确定每一个函数定义域求交集即可，即解不等式组1

例2、函数f（x-1）定义域为（1，2），则f（x+2）定义域为。

析：这种问题是已知f[g（x）]定义域，求f[h（x）]定义域这种类型的问题，可以先由f[g（x）]定义域求得g（x）值域，g（x）值域也就是f（x）定义域，f（x）定义域也就是h（x）值域。

从上述两个例题我们看到抽象函数考察定义域问题综合了对对应法则、自变量、求定义域、求值域等方面知识，对涉及内容要求理解透彻。

（2）函数的周期和对称性的考察。对周期性和对称性的考察主要是对周期和对称的判断条件的辨析和判读，需要掌握条件的特征和变形技巧。

例3、定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）且f（x）在[-1，0]上是增函数，给出下列四个命题①f（x）是周期函数；②f（x）的图像关于x=1对称；③f（x）在[1，2]上是减函数；④f（2）=f（0）其中正确命题的序号是。

析：由f（x+1）=-f（x）f（x+2）=-f（x+1）=f（x）故f（x）是周期函数，命题①正确；由于函数是偶函数，故f（x+2）=f（-x），函数图像关于直线x=2+02=1对称，故命题②正确；由函数是偶函数，故函数在[0，1]上单调递减，根据对称性（或周期性）函数在[1，2]上应该是增函数，故命题③错误；根据周期性，f（2）=f（0），命题④正确，故填①②④

例4、已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的图像关于点（1，0）对称，且f（4）=4，则f（2012）=

析：由y=f（x-1）的图像关于点（1，0）对称，可知f（x）关于原点对称，即f（x）是奇函数。令x=-3可知f（3）+f（-3）=2f（3），得f（3）=f（-3），所以f（3）=0，所以f（x+6）+f（x）=0，即f（x+6+6）=-f（x+6）=f（x），故f（x）是一个以12为周期的周期函数，所以f（2012）=f（-4）=-f（4）=-4。

上述两个例题以抽象函数为载体，综合考察了周期性、对称性，处理这样的问题要将判断周期和对称的特征性条件的处理方法掌握好，运用整体代入、特殊值等方法就可有效解决。

3 解决抽象函数问题的常用技巧

（1）抽象函数具体化：既然抽象函数是由具体函数或其性质中抽象而来，那么我们不妨就将抽象的函数还原回我们熟悉的函数，通过特殊与一般的转化来解决客观题，或者是在主观题中通过具体函数来获得解题思路。

（2）整体代换：

在处理周期问题时经常用到整体代换这一技巧，如例3中f（x+6+6）=-f（x+6）=f（x）这一处理方式，以及前文所述的周期判断问题如f（x+a）=f（x+b）周期为|a-b|，是用x+a替换x；f（x+t）=-f（x）周期为2t，f（x+t）=1f（x） 周期为2t，f（x+t）=-1f（x）周期为2t等都是用x+t替换x，这些都是运用了整体代换这一方法。

（3）特殊值法（赋值法）：

抽象函数中的等量关系往往是以一般性关系为主，我们可以通过赋值，使这种等量关系中蕴含的函数性质显现出来。如例4中令x=-3可知f（3）+f（-3）=2f（3），得f（3）=f（-3），所以f（3）=0，所以f（x+6）+f（x）=0，即f（x+6+6）=-f（x+6）=f（x），赋值的直接目的是得到一个函数值，最终目的是使等量关系中蕴含的函数性质显现出来，所以所赋数值的选择就有一定技巧性，一般来讲，等量关系中蕴含的性质主要是以对称性（奇偶性）和周期性为主，所以所赋数值要朝着这个方向考虑。

例5、定义在（-1，1）上的函数f（x）对任意的x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy），求证f（x）是奇函数。

析：我们就可以先令y=-x，再令原式中的x=y=0得f（0）=0就证得了结论。

综上所述，抽象函数源于具体函数及其性质，所以要熟练掌握函数的定义和性质，并辅以一定的方法技巧还是可以找到思路的，当然这都需要在平时的训练中多积累多总结。