浅谈柯西不等式在高中数学中的应用
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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】C 【文章编号】1009-5071(2012)03-0213-02
人教A版普通高中数学课程标准实验教科书（选修4-5）《不等式选讲》，第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。本章介绍两个基本的不等式，以及它们的简单应用。
柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，柯西不等式在中学数学中的广泛的应用，它在中学数学特别是中学数学奥林匹克竞赛有着不容忽视的作用。它不但在高等数学中起到重要的作用，在数学分析、概率论和泛函分析中都有所涉及，而且在近年来中学数学，高考中，中学数学竞赛中都有很大的作用。柯西不等式是高中新课程的新增内容，在以后的高考中表现得比较活跃，将是经后高考的一个新亮点，倍受专家的青睐。本文从以下几个方面讨论柯西不等式在证明不等式、求函数极值，解析几何、平面几何问题等方面的应用。
1 柯西不等式常见的几种不同形式
（1）二维形式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2
（2）三维形式(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)(a1b1+a2b2+a3b3)2
（3）推广形式(∑nk=1akbk)2(∑nk=1a2k)・(∑nk=1b2k)
（4）向量形式｜α｜｜β｜｜α・β｜
2 柯西不等式在证明不等式中的应用
对于柯西不等式，它在证明不等式以及求极值等方面都有很多的应用，给我们开拓了思路。主要就是构造两个数组，再利用柯西不等式把两个数组的和缩小成两个数组的积。从而使问题简化。
例1 已知a1,a2,…an都是正数，求证：(a1+a2+…+an)(1a1+1a2 +…+1an)n2
证明：利用柯西不等式，
构造两个数组：a1,a2…an；1a1,1a2…1an
利用柯西不等式有
(∑ni=1ai・1ai)2[∑ni=1(ai)2]・[∑ni=1(1ai)2]
即
(∑ni=11)2(∑ni=1ai)(∑ni=11ai)
(a1+a2+…+an)(1a1+1a2+…+1an)n2
例2 求证：对于任意实数a1,a2和b1，b2,下面不等式恒成立
a21+a22+b21+b22(a1+b1)2+(a2+b2)2
证明：由柯西不等式，得：(a21+a22)(b21+b22)(a1b1+a2+b2)2
又
(a21+a22+b21+b22)2=(a21+a22)+(b21+b22)+2(a21+a22)(b21+b22)
(a21+a22)+(b21+b22)+2(a1b1+a2b2)=(a1+b1)2+(a2+b2)2
两边开平方即得证。
3 利用柯西不等式在求函数最值中的应用
例3 设x+y+z=1，求函数u=2x2+3y2+z2的最小值。
解：根据已知条件和柯西不等式，我们有
1=x+y+z=12・2x+133y+1・z
（12+13+1）12（2x2+3y2+z2)12=116・u
u611，由此推得 umin611
而等号成立的条件是：2x=λ2，3y=λ3,z=λ,即x=λ2,y=λ3,z=λ，代入条件x+y+z=1，得λ=611，此时x=311,y=211,z=611.
故当x=311,y=211,z=611时，umin=611.
例4 已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5. 试求a的最值
解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(12 +13+16)(b+c+d)2
即2b2+3c2+6d2(b+c+d)2 由条件可得，5-a2(3-a)2
解得，1a2当且仅当2b1/23c1/3=6d1/6=时等号成立，
代入b=1,c=13,d=16时，amax=2
b=1,c=23,d=13时amin=1
例5 设a,b∈R+，且a+b+c=1，求1a2+1b2+1c2的最大值
解：根据条件和柯西不等式，得
(1a2+1b2+1c2)(1+1+1)(1a+1b+1c)2,
(a+b+c)(1a+1b+1c)(1+1+1)2=9
1a+1b+1c9，即(1a2+1b2+1c2)(1+1+1)92
1a2+1b2+1c227
，当且仅当a=b=c时等号成立
(1a2+1b2+1c2)min=27
4 利用柯西不等式在平面几何中的应用
柯西不等式具有对称和谐的结构，应用的关键在于抓住问题的结构特征，找准解题的正确方向，合理地变形、巧妙地构造.作为新课程的选修内容，柯西不等式在数学的多个领域都有着广泛的应用，不仅在代数方面能够解决问题，而且在解决平面几何问题时也带来极大的方便
例6 设P是三角形ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的半径， 证明x+y+z12Ra2+b2+c2
证明：由柯西不等式得，
x+y+z=ax1a+by1b+cz1c
ax+by+cz・1a+1b+1c
记S为ABC的面积，则
ax+by+cz=2S=2abc4R=abc2R
x+y+zabc2Rab+bc+caabc=12Rab+bc+ca
12Ra2+b2+c2
故不等式成立。
例7 AB为O的弦，P为圆周上一点，求1PA+1PB的最小值。
解：(如右图)
根据之前的知识可知在优弧AB的中点C处，CA+CB为最大，即对圆周上任一点P，都有CA+CBPA+PB
由柯西不等式，有(PA+PB)(1PA+1PB)4，所以
1PA+1PB4PA+PB4CA+CB
=42CA=2CA=1CA+1CB
即(1PA+1PB)min=1CA+1CB
例8 证明ha+hb+hc9r，其中ha,hb,hc分别为边a,b,c上的高，r为内切圆半径。
证明：设ABC的周长为2s，其本边长分别为a,b,c，则ABC的面积S=s(s-a)(s-b)(s-c).
由柯西不等式，有
设(a+b+c)(ha+hb+hc)=2S(a+b+c)(1a+1b+1c)18S
所以ha,hb,hc18Sa+b+c=9r，即证。
5 利用柯西不等式在平面解析几何中的应用
例9 用柯西不等式证明点到直线的距离
已知平面为Ax+By+Cz+D=0，求证点(x0,y0,z0)到平面的距离为
d=｜Ax0+By0+Cz0+D｜A2+B2+C2
证明：设p(x,y,z)为平面上任意一点，有Ax+By+Cz=-D且A2+B2+C2>0构造两数组A,B,C和x-x0，y-y0，z-z0.由柯西不等式得
(A2+B2+C2)[(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2]
[A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)]2=[(Ax+By+Cz)-(Ax0+By0+Cz0)]2=(Ax0+By0+Cz0+D)2，于是有
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2｜Ax0+By0+Cz0+D｜A2+B2+C2
当且仅当x-x0A=y-y0B=z-z0C时，上式等号成立。由垂线段最短可知
d=｜Ax0+By0+Cz0+D｜A2+B2+C2
同理令z=0在再利用柯西不等式可得点到直线的距离
d=｜Ax0+By0+D｜A2+B2
柯西不等式作为数学不等式中一个基础而且重要的不等式，对解题时起了不可忽视的作用。它将两数列中各项积的和与和的积巧妙得结合在一起，使许多问题得到了简化。对它的探究为我们今后能够更好得学习数学有着很大的意义。教师在教学中要把握重点，不要求难度太大，最基本的是二维的情况。抓住基本思想基本方法的教学，力求以简驭繁。
参考文献
[1] 道客巴巴网，刘小菲的学士论文.
[2] 基础教育网.
[3] 人教版《教师培训手册》.
[4] 中学数学教材教法.