立体几何中二面角的平面角的定位(1)

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空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析定位作图定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而宣则是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。

一、 重温二面角的平面角的定义

如图（1），α、β是由ι出发的两个平面,o是ι上任意一点,oc

α，且ocι；cd β，且odι。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠cod是二面角α—ι—β的平面角，从中不难得到下列特征：

ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；

ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在oc上任取上一点a，作abod垂足为b,那么

由特征ⅱ可知abβ.突出ι、oc、od、ab，这便是另一特征；

ⅲ、体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。

对以上特征进行剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。

特征ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

例1 已知正三棱锥v—abc侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。

由于正三棱锥的顶点v在底面abc上的射影h是底面的中心，所以连结ch交ab于o，且ocab，则∠voc为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取ab的中点o为其平面角的顶点，而且使背景突出在面voc上，给进一步定量创造得天独厚的条件。

特征ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ与

α、β的交线，而交线所成的角就是α—ι—β的平面角，如图。

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

例2 矩形abcd，ab=3，bc=4，沿对角线bd把abd折起，

使点a在平面bcd上的射影a′落在bc上，求二面角a—bc-—c的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在

于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过a作aebd交bd于o、交bc于e，则折叠后oa、oe与bd的垂直关系不变。但oa与oe此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征ⅱ可知，面aoe与面abd、面cbd的交线oa与oe所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，a在面bcd上的射影必在oe所在的直线上，又题设射影落在bc上,所以e点就是a′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，ao=ab·ad/bd=3*4/5=12/5，oa′=oe=bo·tgc∠cbd，而bo=ab2/bd=9/5, tg∠cbd，故oa′=27/20。在rtaa′o中，∠aa′o=90°所以cos∠aoa′=a′o/ao=9/16，ty∠aoa′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。

通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。

特征ⅲ显示，如果二面角α—ι—β的两个半平面之一，存在垂线段ab，那么过垂足b作ι的垂线交ι于o，连结ao，由三垂线定理可知oaι；或者由a作ι的垂线交ι于o，连结ob，由三垂线定理逆定理可知obι，此时，∠aob就是二面角α—ι—β的平面角，如图。

由此可见，地面角的平面角的定位可以找“垂线段”。

例3 在正方体abcd—a1b1c1d1中，棱长为2，e为bc的中点。求面b1d1e与面积bb1c1c所成的二面角的大小。

例3的环境背景表明，面b1d1e与面bb1c1c构成两个二面角，

由特征ⅱ可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如

果思维由特征ⅲ监控,背景中的线段c1d1会使眼睛一亮,我们只须由c1(或d1)作b1e的垂线交b1e于o,然后连结od1(或oc1),即得面d1be与面cc1b1e所成二面角的平面角∠c1od1，如图，计算可得c1o=4*51/2/5。

在rtd1c1o中，tg∠c1od=d1c1/c1o=51/2/2。

故所求的二面角角为arctg51/2/2或π-arctg=51/2/2

三、三个特征的关系

以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其标的是

分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

1、 融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的

消极作用，培养思维的广阔性和批判性。

例3 将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的

一个侧面吻合，则吻合后的几何呈现几个面？

这是一道竞赛题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？

如图，过两个几何体的高线vp、vq的垂足p、q分别作bc的垂线，则垂足重合于o，且o为bc的中点，op延长过a，oq延长交ed于r。由特征ⅲ，∠aor为二面角a—bc—r平面角，结合特征ⅰ、ⅱ，可得vaor为平行四边形，va//be，所以v、a、b、e共面，同理v、a、c、d共面，所以这道题的答案应该是5个面！

2、 三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多同题中却

表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露，在这种形势下，逼你去作，那么作谁？

由特征ⅲ，有了“垂线段”便可定位。

例4 已知rtabc的两直角边ac=2，bc=3，p为斜边上一

点，沿cp将此直角三角形折成直二面角a—cp—b，当ab=71/2时，求二面角p—ac—b的大小。

作法一：a—cp—b为直角二面角，

过b作bdcp交cp的延长线于d，则bddm apc。

过d作de ac，垂足为e，连be。

∠deb为二面角a—cp—b的平面角。

作法二：过p点作pd′pc交bc于d′，则pd′面apc。

过d′作d′e′ac，垂足为e′，边pe′，

∠d′e′p为二面角p—ac—b的平面角。

再说，定位是为了定理，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。

由此可见，要作，最好考虑作“垂线段”。

综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的主观心理空间和客观心理空间，以不变应万变。