例谈有序化假设法在中学数学解题中的应用

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摘 要 数学方法一直是人们研究所关注的重要领域。有序化假设法作为中学数学常用的解题方法，通过对问题中的多个参数或元素进行合理的有序化假设，增设了有效条件，降低了问题的抽象度与复杂度，从而使问题获得巧妙的解决。

关键词 有序化假设 数学方法 中学数学解题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

如果说问题是数学的心脏，那么数学方法作为分析、处理和解决数学问题的概括性策略就可以说是数学的血液。数学方法比数学知识具有更大的统摄性和包容性，就像一个巨大的网络，将所有的数学知识有机的联系在一起，形成一个系统，因此理解和掌握数学方法，比掌握形式化的数学知识更加有利于问题的解决，更加有利于思维的发展。正如著名日本数学教育家米山国藏在其著作中所说的：“即使学生把所交给的数学知识（概念、定理、法则和公式等）全忘了，铭记在他心中的数学精神、思想和方法却能使他受益终身。”作为数学的显著组成部分和数学教育的重点，数学方法一直是人们所关注的重要研究领域。例如，关于中学数学解题方法中的构造法、参数法、染色法、换元法等都已得到了充分的论述，而在本文中，笔者将结合例子对研究不常涉及的有序化假设法在中学数学解题中的应用做一些尝试性的探讨。

1 有序化假设方法的涵义

在介绍有序化假设方法的涵义前，先让我们来看个典型的例子：

例1：设a，b∈R+，求证：aabb≥abba

从上面的例1中我们可以看到，已知条件中本来没有条件“a≥b”，而我们在证明的过程中根据a、b的对称轮换性，做出了“不妨设a≥b>0”的处理，使得证明过程更为简单，这样的方法就是有序化假设。显然，如果我们不做出“不妨设a≥b>0”的有序化假设，也是可以解决这个题目的，那我们就必须按a>b、a=b、a

一般地，像例题这样，在一个数学问题中，当题目出现多参数、多元素（数、字母、点、角、线段等）时，若按一定的规则（如数的大小，点的次序等），将其重新排列，从而使题目由一般情况转化为特殊情况，使原问题转化为较容易解决的问题，这种数学解题方法就是有序化假设法。有序化假设常常被看作是优化假设的一种（除此之外，还有特殊化、图形化等假设形式）。

我们不难发现，有序化假设的实质就是通过“排序”的方法给题目增设了一个有效的已知条件，大大降低了问题的难度，特别是处理某些不等关系时，这是一种行之有效的方法，特别是当面对抽象的问题，我们无处下手时，通过有效地假设，不单能使题目具体化、数字化，而且通过排序本身给问题增设了一个不等式条件，从而降低问题的抽象度和复杂性。需要指出的是，有序化假设是有条件的，当元素的结构不具对称性或任意性时，这样的“不妨设”或“限定”可能会改变题意。

2有序化假设方法在数学解题中的具体应用

2.1在求解不定方程中的应用

在求解不定方程时常根据方程中参数的对称性来进行有序化假设，并在此之后依据题意进行估值与讨论，最后进行检验。

例2：求解不定方程++=的正整数解。

又因为x、y、z的大小关系不定，且原方程为轮换对称式，故原方程共有12组解：（2，4，20）、（2，20，4）、（4，2，20）、（4，20，2）、（20，4，2）、（20，2，4）、（2，5，10）、（2，10，5）、（5，2，10）、（5，10，2）、（10，2，5）、（10，5，2）。

上面例2是有序化假设法在求解不定方程中的应用，原方程左端的x、y、z是对称的，所以可以使用有序化假设方法，并且由于这两个不定方程的解都是正整数，于是我们可以在有序化假设后对其进行估值和分类讨论，从而求出解。但在此需要特别指出的是，虽然我们假设了“x≤y≤z”，但实际上在方程的解中它们的大小关系是不定的，因此，在得出“有序化的解”后我们还要将其“去序化”。在例2中，有序化的解只有两组，即x=2，y=4，z=20和x=2，y=5，z=10，但回归一般之后就得到了12组解。因此，在用有序化假设解决不定方程的时候，我们需要特别注意是否有序化假设使得解的范围缩小了。

2.2 在绝对值问题中的应用

在对于绝对值问题的求解中，可以合理运用有序化假设的方法将绝对值符号去掉，从而使问题得到解决。

例3：解方程组

在处理绝对值问题时，在不改变题意的前提下，可以灵活应用有序化方法，去掉绝对值符号，使问题简单化。在例3的方程组中，交换各数的下标时，原方程组不变，因此不妨利用有序化方法，除去绝对值符号，使问题便于解决。

2.3 在不等式问题中的应用

有序化方法在不等式问题中，有时会与排序原理结合起来使用，先将元素有序化，再利用排序原理来解题。

所谓的排序原理是指：设a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn，则

例4：10个人各拿一只水桶打水，设水笼头流满第i人的水桶需要时间ti.又设这些ti各不相同，问当只有一个水笼头放水时，如何安排10人的打水次序，使10人所花费的总等待时间最少？

解：不妨设t1

10人所花费的总等待时间为10ta1+9ta2+…+1ta10，因为10>9>…>2>1，故有排序原理可知最小值为10t1+9t2+…+1t10，即由所花时间最少的人开始，依次打水，直到所花时间最多的人打完为止。

2.4 在各种组合问题中的应用

在解决各种组合问题时，有序化假设后构造相应的数学组合模型是一种常见的手法。

例5：设为偶数，从整数1，2，…，n中选取4个不同的数a，b，c，d，满足a+c=b+d。证明：不同的选取方法共有种。

证明：由题意，不妨设a>b>c.由a+c=b+d，得d>c.

上述每个三原数组（a，b，c）确定一个符合题目要求的四元数组（a，b，c，d），只要d=a+c-b即可。

又因为d>c，每个四元数组（a，b，c，d）出现两次（a，b，c）和（a，d，c）产生的四元数组，因此所求的选取方法应为种。

上面例题中，具有很强的技巧性，在题目中涉及到了a，b，c，d，但在解题中，仅对a，b，c有序化，是一种局部的有序化。

2.5 在几何问题中的应用

有序化假设不单在一些代数和组合问题中被使用，利用有序化假设法还可以巧妙解决一些几何问题。

例6：设P为ABC内任一点，连接AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F那么比值，，必有一个不大于2，也必有一个不小于2。

证明：在图1中，对PBC，PAB，PCA的面积大小进行排序，不妨设 SPBC≥SPAB≥SPCA

同理，由=≤，得≥2， 这就证明了结论。

例6的证法有很多，但是，使用有序化假设方法解决此题较为简便。在处理几何问题时，我们要注重挖掘一些潜在的能够作有序假设的关系，利用这些有序关系来帮助我们解题。

3结束语

依托于数学知识之上的数学方法是数学的重要组成部分，其知识博大精深，奥妙无穷。有序化假设作为一种数学方法常常使用在一些中学竞赛题目中，降低数学难题的抽象度和复杂度，让我们寻找到解题的突破口。使用有序化假设法解决问题，其关键是借助对问题特征的敏锐观察，对问题中的多个参数或元素进行合理的有序化假设，从而使问题巧妙的获得解决.总之，有序化假设方法就是通过回答“为什么要排序”，找到问题的突破口；“如何排序”，找到问题解决的途径；“排序是否影响结果”，找到问题的一般解的一种数学方法。

参考文献

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