浅议轨迹及参数法求轨迹方程
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摘要轨迹方程的求法是解析几何知识的综合运用，其方法有很多种。参数是数学中解决问题的重要桥梁和工具，在求解轨迹问题时能发挥重要作用。本文从轨迹方程和函数图象的区别入手，从求轨迹方程的多种方法中，重点阐述利用参数法求动点轨迹方程的方法，揭示其规律。
中图分类号：O123 文献标识码：A
Find Locus Equation by Trajectory and Parametric Method
XIE Fengmu
(Lengshuijiang Industrial College, Lengshuijiang, Hu'nan 417505)
AbstractMethods for finding the trajectory equation is the integrated use of knowledge, analytic geometry, and its methods there are many. Parameter is an important problem in mathematics bridge and tools for solving the trajectory problem can play an important role. This article first images from the track the difference between equations and functions starting from the requirements of many ways to trace equations, using parameters of Method focuses on the fixed point locus equation approach, reveal the law.
Key wordsfunction Image; locus equation; parameter method
动点的轨迹方程是中学平面解析几何的基本问题之一，在高中阶段，无论“教”与“学”，都颇感困难。本文讨论函数图象与轨迹的异同，以求对轨迹的深入理解，重点阐述轨迹方程中参数法的应用。
1 通过对比，抓住轨迹的本质，揭示其规律
函数和轨迹方程是中学数学的两个重要概念。一般先接触函数，再学习轨迹方程。学生在最初学习轨迹方程这个概念时，由于只有函数图象的基础知识，对圆锥曲线理解不深，感性知识并不丰富；尔后学习圆锥曲线时，又把主要精力放在掌握圆锥曲线的性质上。因此，学生对轨迹方程的求法，往往抓不住要领。针对这种情况，对于轨迹方程和函数表达式，先应该明确以下两点：
（1）在代数中，求函数表达式，要设出自变量x和因变量y，列出显式y = f (x)，一般有无数组对应的值，把每一组对应的值作为点的坐标，就形成函数的图象。而求轨迹方程是在给定的坐标系下，先设动点坐标为（x,y），求出一个包含动点坐标的不定方程f (x,y) = 0，一般来说，它也有无数组解，把每组解作为点的坐标，就形成动点的轨迹。但必须注意的是：对于函数f(x)，自变量x中任意确定的值，因变量y中都有唯一确定的值与之对应，即不能出现一对多的情况，而轨迹方程允许出现此情况。例如：x2 + y2 =1，是轨迹方程，但不是函数表达式。由此可见，函数表达式y = f (x)是轨迹方程和一种形态。
（2）求函数表达式的关键在于找等量关系。显然寻找等量关系的途径不同，但是一般都要借助一些确定的基本数量关系（比如数学、物理、化学中的公式）。但对轨迹方程而言，由于它是研究动点的运动，而动点之所以能运动，必须有一个引起运动的“源泉”。因此，求轨迹方程时，必须依据题设中的几何关系和动点运动的规律，通过分析，找出引起动点运动的根源，然后再确定制约动点运动的条件等式。由此可见，求轨迹方程实际上是方程和函数的联合应用。
2 求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的方法有很多。如果题中的条件有明显的等量关系或者可以利用平面几何的知识推出等量关系，则可利用直接法；如果动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），则可利用定义法；如果轨迹上的点p(x,y)的运动依赖于另一动点Q（x,y）的运动，则可利用代入法；如果动点p(x,y)之间关系不易直接找到，可以考虑将x和y都用一个中间变量来表示，叫做参数法，等等。因为参数的寻找具有一定的隐蔽性，所以有一定难度。本文将重点讨论参数法求轨迹方程的一些基本思路。
3 参数法求轨迹方程
在一些轨迹方程的求解过程中，可设法引进一个中间变量t（参数），用它分别表示动点的坐标x和y，得到参数方程x = f(t)和y = f(t)，联立得方程组，消去t ，便得到动点的轨迹方程。参数是数学中的“活泼”元素，选择得当，它能化简为繁，“溶解”难点。选择参数有许多原则，下面的两条是最基本的：（1）参数的变化必须直接影响动点的变化，即参变数与动点坐标x和y之间是一个函数关系式。（2）参数要与题设的已知量保持联系。参数的选取要因题而异，机动灵活。从纷繁的变量中找到最合适的参数，是学生学习求轨迹方程的“拦路虎”，如何扫除这个“拦路虎”呢？我们先看以下的实例：
例1：在等腰RtABC中，A为直角，腰长为a，点A和点C分别在x正半轴和y正半轴上滑动，求另一顶点B的轨迹方程。
分析：如图所示，定线段AC沿坐标轴滑动，导致B点运动，这是B点运动的根源。但是要找出动点B的坐标x和y与动直线AC之间的等量关系，却比较困难。我们发现，AC滑动，会直接导致∠CAO的变化。现在思考：B点的坐标x与y的变化与∠CAO之间有某种函数关系式吗？
设∠CAO =,在RtAOC中，|AO|=acos
在RtABD中，|AD|=acos（ - ）= asin,
|BD|= asin（ - ）=acos
故x = |AO| + |AD|= acos + asin
y = |BD| = acos
至此，写出了x和y关于参数的函数表达式。下面消参得到：x2 - 2xy + 2y2-a2 = 0(x＞0,y＞0)，即得B点的轨迹方程。
归纳：该题巧妙地寻找到了角度为中间变量，列出x和y关于的关系式，消去即得轨迹方程。当然，本题也可以线段OC或OA和长度作参数，但计算量会有较大差别。
例2：倾斜角为的直线交椭圆 + y2 =1于A、B两点，试求线段AB中点M的轨迹方程。
分析：由题可知，M点的运动依赖于直线的运动，利用直接法、定义法等思路难于求解。由于直线斜率已确定，则直线的运动会引起直线截距的变化，因此，可以考虑将直线的截距作为参数求之。
设A（x1,y1），B（x2,y2），M（x,y），直线方程为y = x+b，与椭圆+y2 = 1联立，消去y得到：x2 + 2bx + b2-1= 0
上式利用韦达定理可知：x1+x2= -b，所以，x= -b，代入y = x + b，得到y =b
消去参数b得到：x + 4y = 0
因为直线与椭圆相交，所以方程x2+2bx+b2-1= 0有两个不相等的实根，即= b2-4ac = 4b2-5(b2-1)＞0，
解之得：-＜b＜，所以 - ＜ -b ＜ -
即：- ＜ x ＜-
故线段AB中点M的轨迹方程为：
x + 4y = 0(-＜ x ＜ - )
归纳：本题以直线的纵截距为参数求解较易。但是，务必注意参数b的取值范围，以保证曲线方程的纯粹性与完备性。
例3：抛物线y = x2上异于坐标原点O的两个不同动点A、B满足AOBO，求AOB的重心G的轨迹方程。
分析：AOB的重心的位置取决于AOB的形状和位置，而AOB完全取决于线段AO（即：线段AO一旦确定，AOB也唯一确定，其重心当然随之确定）。基于此，可以考虑将直线AO的斜率K作为参数。
设直线AO的方程为y = kx，由AOBO可知，直线BO的方程为y= -x。
联立方程y = kx和y = x2解得，A点坐标为（k，k2）
联立方程y= -x和y = x2解得，B点坐标为（-，1/k2）
设AOB重心坐标G（x,y），由重心公式可知：
x = - (k-)，y = (k2 +1/k2)
消去参数k得到G点的轨迹方程为：y = 3x2 +
归纳：本题的解法是以斜率k为参数，分析发现，亦可以线段长、角度等变量作为参数。
通过上面的实例分析，我们不难看出：利用参数法求动点轨迹方程时，首先必须分析是什么变量在左右动点的运动，只有这样的变量，才能考虑作为参数。同一问题中，如果这样的变量不止一个，要酌情选取其中一个。其次，具体选择什么量作为参数，虽然没有固定的公式可循，但可以给学生总结一些“相对性”的经验。比如：（1）已知有定长且有动直线与定直线相交时，可选角度为参数。（2）已知通过某一定点的动直线，为便于应用点斜式表示动直线，可选其斜率为参数。（3）斜率为已知的一组平行动直线，可选其在y轴上的截距为参数。（4）已知动点的运动依赖于已知轨迹上的点的运动时，可选已知轨迹上的点的坐标为参数。（5）有时直接采用直线和圆锥曲线的参数方程中的参数作为问题的参数，等等。
参考文献
[1]祥.初等几何研究.北京:高等教育出版社,1997.
[2]马德高.全线突破.北京:中国社会出版社,2005.
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