形似神似与形似神非

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一、前言

在一次高三“推门”听课过程中，碰到这样一个问题，求函数f（x）=+的最值.学生很快通过两边平方结合二次函数性质，求得当x=时，函数有最大值；当x=1或2时，函数取到最小值. 紧接着教师又抛出了三个形似问题，分别求下列函数的最值：（1）f（x）=+，（2）f（x）=+，（3）f（x）=+.对于问题（1）很多学生仍然通过两边平方解决，但也有不少学生意识到了此函数的单调性，并用此性质予以解决；问题（2）虽然无法通过两边平方解题，但在第一问的引导下，学生很快想到运用单调性求出函数值域；对于问题（3）很多学生选择沉默，教师在几次询问无人应答的情况下谨慎地选择了自己讲解，运用柯西不等式求了一个最大值（应该是忽视了最小值）. 这时有学生来劲了问：老师，这个函数有没有最小值啊！教师显然“愣”了一下，但毕竟是经验丰富的老教师，紧接着说：这个问得非常好，这类问题的最小值一般会在自变量“端点”处取到，至于何原因，可以通过导数及函数单调性给出完整解释. 于是教师通过对此函数求导，得出此函数在[，]上单调递增，在[，1]上单调递减，确确实实应证了教师的那句话，最小值在自变量端点x=处取到为，学生欣然接受，这个小插曲也就圆满结束.

课后笔者与任课教师交流，柯西不等式与导数属于模块内容（18选6内容，浙江省2015、2016届高考数学卷中不作要求），在这节课中出现是课前预设还是临场发挥.教师的解释是本只想讲下柯西不等式在此类题型中的妙用，况且柯西不等式也可以不出现，因为可以用构造向量做出解释，但一下忘了最小值，后来没办法了所以才把导数“搬”了出来.对于这样的解释在情理之中，因此笔者也没有再问，在作简单交流之后也就结束了本次听课，毕竟只是“推门”课.

二、双根式函数最值问题的整理

事后，笔者思考对于双根式函数问题，形式大都非常接近，解法也有不少，确实可以从两边平方、单调性、柯西不等式和求导这四个角度考虑问题，但这些方法都有较为明显的不足.求导可以解决所有两个根式下都是一次函数的和、差函数的最值问题，但用导数不仅烦琐容易出错（涉及复合函数求导），而且多少有超纲的嫌疑；两边平方则仅适用于根式下均为一次函数且一次项系数互为相反数；单调性仅适用于两个根式单调性一致情况下的和或两个根式单调性相反情况下的差所组成函数的最值问题；柯西不等式则只适应于两根式和且根式下均为一次函数以及一次项系数异号的函数.既然以上方法都有不足之处，那么有没有一种既便捷又不超纲且能解决所有这一类题型的方法？显然是有的，其实上述问题均可转化为圆锥曲线（第一象限部分）与斜率为-1（或1）直线间的规划问题（数形结合）.下面先以上述问题（3）为例作具体说明.

（一）双根式下均为一次函数

其实对于形如f（x）=±函数最值问题均可转化为椭圆或双曲线（第一象限部分）与直线关系下的规划问题.因为只需设=μ，=v，即可得cμ2-aν2=bc-ad（μ≥0，v≥0），f（x）=μ±v，在以μ，v为横纵坐标的直角坐标系中，方程cμ2-av2=bc-ad仅可以表示圆、椭圆、双曲线或两条相交直线（第一象限部分），f（x）=μ+v（或f（x）=μ-v）则表示斜率为-1（或1）的直线（第一象限部分），而f（x）则可以理解为直线在v轴上的截距（或截距的相反数），然后通过数形结合（平移直线）就能求出最值.当然，若函数具有明显的单调性或可以通过平方解决，则没有必要进行上述转化.

（二）两根式下分别为一次函数和二次函数

在上述解答过程中不难发现，方程cμ2-av2=bc-ad无法表示抛物线，那么是否会有可构造抛物线解决的题型？其实稍加探索就能发现，一个根式下为一次函数，另一根式下是一次函数的完全平方，即可构造抛物线解决，下面举例说明.

对于形如f（x）=+函数的最值问题，就可以转化为抛物线与直线关系下的规划问题.解题如下，令=μ，=v，则有v=|μ2-2|，f（x）=μ+v，同上根据带绝对值抛物线与斜率为-1的直线（均为第一象限部分）关系下的规划问题，可求得当μ=-，v=0时，f（x）取到最小值-，无最大值.

类似于上述函数，对于f（x）=±型函数最值问题均可通过转化成带绝对值的抛物线与直线（均为第一象限部分）关系下的规划问题.因为设=μ，=v，则有v=|μ2-+d|，f（x）=μ±v，然后可通过数形结合解题.其实从图形不难看出此类题型一般无最大值，最小值则一般在抛物线与μ轴的交点处或直线与曲线相切位置取到. 当然此类题型也可以仅代换前面一个根式（因为后面的实际是伪根式）然后代入原式直接转化成带绝对值的二次函数问题解决.

（三）双根式下均为二次函数

对于双根式下均为二次函数的最值问题，则较以上两类复杂得多. 若两根式下二次函数的一、二次项系数分别相同或成比例，即形如

f（x）=±（k≠0）的函数，则仍可以通过转化成椭圆或双曲线与直线关系下的规划问题给予解决，但需特别注意和的取值范围；若两根式下二次函数的Δ≤0且二次项系数相同，即通过配方可把双根式函数转化成形如

f（x）=±a（x-x2）2+（0-y2）2的函数，然后可以构造x轴上一点（x，0）到点（x1，y1）与点（x2，y2）距离之和或差给予解决（用构成三角形的基本性质解题）.上述两种题型形状非常相似，但处理的方式或者说本质则是完全不同的.

三、小结

因为在听课之后的交流中，发现一位优秀的老教师没把这个问题弄得非常透彻（可能是因为导数的原因，故未深究），或许还有很多一线教师对这类问题没加留意，因此笔者以为有必要把此类问题作一点整理，也愿这样的整理能给读者一点启发，当然更希望能起到一个抛砖引玉作用. 因为上述仅仅解决了一小众问题，关于双根式函数中更为一般化的情况有没有统一解法或有没有特殊解法，拓展到结构相似的题型到底是“神似”还是“貌似”，都值得大家进行深入的研究.