江苏高考物理题的一类多解问题浅析

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带电粒子在电、磁场中的运动问题，是高考中的热点.本文就江苏高考题中带电粒子在电、磁场中由于运动轨迹的空间周期性形成的多解问题进行简要地分析.

例1（2014年江苏高考题）某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图1所示.

装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上.在纸面内，质量为m、电荷量为-q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点.改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置.不计粒子的重力.欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值.

解析粒子经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点，粒子轨迹经过磁场的上边缘和下边缘，如图2所示.

欲使粒子到达M点，必须减小粒子速度，使圆周轨迹半径减小，如图3所示.轨迹中间部分可以周期性重复出现，形成多解.

设圆周轨迹半径为r，则

（3d×22+r2×2）×（n+1）=L，（n=1，2，3…）

mv2r=Bvq

得v=Bqm （Ln+1-3d），1≤n

题中，粒子的运动轨迹在空间的周期性是形成多解的原因.

例2（2013年江苏高考题）科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制. 如图4所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t做周期性变化的图象如图5和如图6所示.x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向. 在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和+q.不计重力. 在t=τ2时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动.（1）求P在磁场中运动时速度的大小v0；（2）求B0应满足的关系；（3）在t0（0

解析（1）τ/2 ～τ做匀加速直线运动，τ～2τ做匀速圆周运动，电场力F=qE0，加速度a=F/m，速度v0=at，且t=τ/2，联立解得v0=qE0τ2m.

（2）只有当t=2τ时，P在磁场中做匀速圆周运动结束并开始沿x轴负方向运动，才能沿一定轨道做往复运动，如图7所示.

设P在磁场中做匀速圆周运动周期为T，则（n-1/2）T= τ，（n=1，2，3，…）

匀速圆周运动时：qvB0=mv2r，T=2πr/v，

解得B0=（2n-1）πmqτ.

（3）在t0时刻释放P，P在电场中加速时间为τ-t0.

在磁场中做匀速圆周运动，v1=qE0m（τ-t0）.

圆周运动的半径r1=mv1qB0，解得r1=E0B0（τ-t0）.

又经（τ-t0）时间P减速为零，在加速和减速过程的位移大小相等.然后向右加速时间为t0，P再进入磁场，v2=qE0mt0.

圆周运动的半径r2=mv2qB0，解得r2=E0B0t0.

又经t0时间P减速为零，在加速和减速过程的位移大小相等.然后往复，运动轨迹如图8所示.

综上所述，速度为零时的横坐标为x=0.

相应的纵坐标为y=2[kr1-（k-1）r2

2k（r1-r2）]，

解得：y=2E0[k（τ-2t0）+t0]B0，（k=1，2，3，…）

2E0k（τ-2t0）B0

在本题中，粒子的运动轨迹具有周期性，并逐渐向y轴正向移动，从而形成多解.