基于无网格径向点插值方法的简谐激励下的连续体结构拓扑优化

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摘 要：针对用有限元法进行连续体结构拓扑优化时需不断重构网格来处理网格畸变和网格移动，且存在数值计算不稳定等问题，基于无网格径向点插值方法(Radial Point Interpolation Method，RPIM)对简谐激励下的连续体结构进行拓扑优化.选取节点的相对密度作为设计变量，以结构动柔度最小化为目标函数，基于带惩罚的各向同性固体微结构(Solid Isotropic Microstructure with Penalization, SIMP) 模型建立简谐激励下的优化模型；采用伴随法求解得到目标函数的敏度分析公式；利用优化准则法求解优化模型. 经典的二维连续体结构拓扑优化算例证明该方法的可行性和有效性.

关键词：连续体结构； 拓扑优化； 径向点插值方法； 简谐激励； 带惩罚的各向同性固体微结构模型； 优化准则方法

中图分类号：TB115.2 文献标志码：A

Topology optimization of continuum structures subject to harmonic excitation based on

meshless radial point interpolation method

ZHENG Juan, LONG Shuyao, LI Guangyao, DING Canhui

（State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China）

Abstract： While using finite element method to perform topology optimization of continuum structures, there exists the continuous mesh reconstruction problem in dealing with mesh distortion and moving, and the numerical computation is not stable. The meshless Radial Point Interpolation Method (RPIM) is used to carry out the topology optimization of continuum structures subjected to a harmonic excitation. Taking the relative density of nodes as design variables and the dynamic compliance minimization of structures as objective function, the topology optimization model is established using Solid Isotropic Microstructures with Penalization (SIMP) model. The sensitivity analysis of the objective function is derived by the adjoint method. The optimization model is solved by the optimization criteria method. The classical 2D continuum structure topology optimization examples show that the method is feasible and efficient.

Key words： continuum structure; topology optimization; radial point interpolation method; harmonic excitation; solid isotropic microstructures with penalization model; optimality criteria method

0 引 言

连续体结构的拓扑优化设计是继结构尺寸优化和形状优化之后，在结构优化领域出现的一个富有挑战性的研究方向［1］，其优点是能在未知结构拓扑形状的前提下根据已知边界条件和载荷条件确定比较合理的结构形式，从而提出最佳形状设计方案.连续体结构拓扑优化本质上是一种0-1离散变量的组合优化问题.代表性的拓扑优化方法主要有均匀化方法［2］、变密度方法［3］和渐进结构优化（Evolutionary Structural Optimization，ESO）方法［4］等.

目前，连续体结构拓扑优化问题的相关研究主要针对静力问题，动态拓扑优化的研究进展较慢，大部分研究集中在结构基频最大化或以频率为约束的问题中.XIE等［5］基于ESO方法实现频率约束下的拓扑优化；彭细荣等［6］基于独立连续映射（Independent Continuous Mapping，ICM）方法建立在静位移及频率约束下，以重量最小为目标的连续体结构拓扑优化模型.对于结构动响应的研究涉及较少，石连栓等［7］采用拟静力法将结构惯性力极值作为静载荷施加在结构上，实现动、静载荷同时作用下桁架结构的拓扑优化；MA等［8］基于均匀化方法研究动态结构的拓扑优化问题；徐斌等［9］在ESO方法的基础上研究谐和激励下的连续体结构拓扑优化问题；JOG［10］研究周期载荷作用下的结构拓扑优化问题，从减振降噪角度定义新的动柔度全局指标；顾松年等［11］全面阐述结构动力学设计优化的研究背景和意义，对动力优化问题的性质、解的存在性等问题进行展望；彭细荣等［12］基于ICM方法，对强迫谐振动下结构拓扑优化问题建立以重量最小化为目标、位移幅值为约束的拓扑优化模型.

目前，连续体结构拓扑优化问题基本上都基于有限元法，在处理网格畸变及网格移动等问题时需不断重构网格，以解决与原始网格线不一致的不连续和大变形问题.同时，由于有限元法中单元网格的存在，常使结构拓扑优化中出现一些数值计算不稳定现象［1,13］，如中间密度材料现象、单元铰接现象、网格依赖性现象和棋盘格现象等.

无网格方法是近年来迅速发展起来的一种新型数值方法，采用基于点的近似，可彻底或部分消除网格，不需要网格的初始划分和重构，不仅可以保证计算精度，而且可以减小计算的难度.目前，已提出多种无网格法主要有无单元Galerkin方法 ［14］、光滑质点流体动力学方法 ［15］、再生核粒子法［16］以及无网格局部Galerkin法［17］等，但利用无网格方法对连续体结构进行拓扑设计优化的研究较少，且均为静力问题的研究.ZHOU等［18］基于再生核粒子法研究线弹性结构拓扑优化问题，选择高斯点的密度为设计变量，但需引入数值稳定性方法消除棋盘格现象；郑娟等［19］将无网格径向点插值方法(Radial Point Interpolation Method，RPIM)引入到连续体结构拓扑优化中，选择节点的相对密度为设计变量，有效克服棋盘格现象；CHO等 ［20］基于再生核粒子法研究非线性几何结构的拓扑优化问题；杜义贤等［21］利用无单元Galerkin法对柔性机构进行拓扑优化研究.与有限元法不同，无网格法中使用的近似函数大多不具有插值特性，因此在基于Galerkin法的无网格中对边界条件的处理比较棘手，LIU等［22］提出的无网格点插值方法则较好地解决了这个问题.点插值方法的插值函数具有Delta函数性质，可很方便地施加本质边界条件，不足之处在于计算插值函数时矩阵易奇异.实际上，带有多项式的径向点插值法可有效解决点插值法中遇到的奇异性问题.

本文基于RPIM对简谐激励下的连续体结构进行拓扑优化设计.选取节点的相对密度作为设计变量，以动柔度最小化为目标函数，基于带惩罚的各向同性固体微结构（Solid Isotropic Microstructure with Penalization，SIMP）模型［23］建立简谐激励下的连续体结构拓扑优化模型，采用伴随法求解得到目标函数的敏度分析公式，引入灵敏度过滤技术得到清晰的拓扑优化结果，利用优化准则法对优化模型进行求解，通过经典的二维连续体结构拓扑优化算例证明该方法的可行性和有效性.

1 RPIM的动力学基本理论

1.1 RPIM的形函数

在径向点插值法中，计算域用一系列点离散，每个点都有一定的影响域，某给定点处的位移通过对该点的影响域中其他点处的位移进行插值得到.设二维域僦械娜我缓数ux，可用径向基和多项式基的线性组合表示为

ux=ni=1Rixai+mj=1Pjxbj=

RTxa+PT(x)b(1)

式中：Rix为径向基函数（Radial Basis Function,RBF）；ai为Rix的系数；Pjx为坐标xT=x y的单项式;bj为Pjx的系数;n为RBF的项数;m为多项式基函数的项数.为保证能取得较好的稳定性，通常取mn.在二维问题中，一般采用线性基PTx=1 x y.

5 结 论

将RPIM成功引入到简谐激励下的连续体结构拓扑设计优化中，并对二维线弹性结构进行拓扑优化设计.在优化过程中，以节点相对密度为设计变量，以结构动柔度最小化为目标函数，基于SIMP模型建立结构拓扑优化数学模型，利用无网格方法和优化准则法求解优化模型.通过算例讨论不同激励圆频率下的拓扑优化结果.结果表明，利用RPIM对简谐激励下的连续体结构进行拓扑设计优化可行、有效.

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