折叠剪切 巧妙解题

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近几年来，图形的折叠问题各地中考数学试题中频繁出现，同时，也是造成学生失分较多的问题，折叠型问题是图形变换的一种，它的立意新颖，变化巧妙，主要考察学生的探究能力，空间想象能力，抽象思维能力及逻辑推理能力。图形折叠主要体现的是教材中的轴对称问题，在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等，是培养学生识图能力，灵活运用数学知识解决问题能力的一条非常有效的途径。而在解决这类问题时，学生往往找不到解题思路，因此有必要对其进行归纳训练。本文从折叠问题展开探究，以培养学生思维的灵活性和深刻性，提高解题能力．

1 利用轴对称性质

例1：RtOAC 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点 O与原点重合，点 A 在 x 轴上，点 C在 y 轴上，OC=，∠CAO = 30°。将RtOAC 折叠，使 OC 边落在 AC 边上，点 O 与点 D 重合，折痕为 CE．

（1）求折痕 CE 所在直线的解析式；

（2）求点 D 的坐标．

点评：本题综合运用了折叠前后的两个图形关于折痕所在直线成轴对称的性质． 挖掘图形轴对称性质，突破难点，深刻理解折叠过程中蕴含的几何性质．

2.利用三角形全等

例2：如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片ABC，A1B1C1，将ABC，A1B1C1如图②摆放，使点B1在AC的延长线上，连接CC1交BB1于点E

求证：∠B1C1C=∠B1BC

点评：互相重合的部分是全等图形，也是以折痕为对称轴的轴对称图形，折叠问题中的折痕多为四边形的对角线、三角形的角平分线等，这些特殊的线段的性质就是解题的关键．

3.利用勾股定理：

例3：矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，

现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，

求重叠部分AEF的面积。

点评：解决此类折叠问题的关键是要运用轴对称的特性，寻找出折叠前后不变的量，除了对称性外寻找直角三角形，设立合适的未知数，运用勾股定理建立方程也是解决这类问题的关键．

4.利用图形等积变换：

例4：如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。操作：（1）将AB向

AE折过去，使AB与AE重合，

得折痕AF，如图b；（2）将AFB以BF为折痕向右折过去，得图c。求GFC的面积

点评：保持面积不变的情况下进行几何翻折、平移变换，关键是熟练掌握图形全等的特殊性质，通过梯形的翻折、拼接，有效地锻炼了学生的思维能力的同时，也提高了学生的动手操作能力．

5.利用函数思想

例5：已知ABC 中，∠A =90°，AB = 6，AC = 8，D 是 AB 上一动点，DE∥BC，交 AC 于 E，将四边形 BDEC 沿 DE 向上翻折，得四边形 B'DEC'与AB，AC 分别交于点 M，N．

（1）证明: ADE∽ABC;

（2）设AD为x，梯形MDEN 的面积为 y，

试求 y 与 x的函数关系式． 当 x 为何值时 y 有最大值?

点评：“折”为“数”与“形”搭起了桥梁，通过计算两个三角形面积之差，求出梯形面积的函数解析式，完成了“数”与“形”之间的转化． 本题融合了轴对称、三角形相似和函数等知识，有较强的综合性，有助于提高学生综合运用数学知识和建模的能力．解决此类问题的策略是: 先看折痕( 即对称轴) ，明确图形中哪些线段、角相等( 重合) 、哪些三角形全等( 重合) ，然后找出线段间的数量关系，最后利用三角形全等、相似或勾股定理、三角函数知识构建方程或函数，进而求解．

对图形折叠问题的探究，既可以培养学生动手实践、自主探究的能力，又有利于学生巩固基本知识形成空间概念，能较好地揭示出数学的本质，帮助学生启迪思维，拓宽解题思路，提升学生的数学素养．

（作者单位系山东省乳山市大孤山初级中学）