一道中考压轴题多解研究

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图1

题目：（2013年浙江绍兴卷第24题）如图1，抛物线y=（x-3） （x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点.

（1）求点B及点D的坐标；

（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E.

①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标；

②若抛物线上一点M，作MNCD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标.

分析： （1）令y=0，则（x-3） （x+1）=0，

解得x1=3，x2=-1.

因为点A在点B左侧，

所以B（3，0）.

因为y=（x-3） （x+1）=x2-2x-3=（x-1）2-4，

所以D（1，-4）.

图2

（2）①解法1：连结BC，过点C作CG直线DE于点G，设CP与直线DE交于点F（如图2）.

易知C（0，-3），则BC=32，CD=2，BD=25，

所以BC2+CD2=BD2，

所以∠BCD=90°.

因为∠DCP=∠BDE，

所以∠DCP+∠CDF =∠BDE+∠CDF，

即∠CFG=∠BDC，

又因为∠CGF=∠BCD=90°，

所以CGF∽BCD，

所以CGBC=GFCD，即132=GF2，

所以GF=13，

所以F（1，-103）.

所以直线CP的解析式为y=-13x-3，

易求直线BD的解析式为y=2x-6，

联立解方程组

y=-13x-3，

y=2x-6，得

x=97，

y=-247，

所以P（97，-247）.

图3

解法2：连结BC，延长PC与x轴交于点F（如图3）.

因为DE∥y轴，

所以∠DCG=∠CDE，

因为∠DCP=∠BDE，

所以∠DCG+∠DCP=∠CDE+∠BDE，

即∠OCF=∠GCP=∠CDB，

又因为∠COF=∠DCB=90°，

所以COF∽DCB，

所以OCCD=OFCB，即

32=OF32，

所以OF=9，

所以F（-9，0）.

所以直线CP的解析式为y=-13x-3，以下同解法1.

解法3：在DE的延长线上取点G，使EG=EB，连结BG（如图4），

则∠CDF=∠DGB=45°，

又因为∠DCP=∠BDE，

所以CDF∽DGB，

所以CDDG=DFGB，即

26=DF22，

所以DF=23.

所以F（1，-103），以下同解法1.

图4图5

②（Ⅰ）若点M在抛物线的对称轴左侧，连结BC，交直线DE于点F（如图5）.由第①小题可知∠NCO=∠CDF=∠CFD=45°，∠MCN45°，而∠BDE

（Ⅱ）若点M在抛物线的对称轴右侧，

当点M在x轴上方，

图6

解法1：作∠BEH=45°，交DB的延长线于点H，设CM与直线DE交于点G（如图6）.

易求直线EH的解析式为y=x-1，

直线BD的解析式为y=2x-6，

联立解方程组

y=x-1，

y=2x-6，得x=5，y=4，

所以H（5，4），

所以EH=42.

因为∠DCG=90°+∠CMN，∠EBH=90°+∠BDE，∠CMN=∠BDE，

所以∠DCG=∠EBH，

又因为∠CDG=∠BEH=45°，

所以CDG∽BEH，

所以CDBE=DGEH，即

22=DG42，

所以DG=4，

所以G（1，0），此时点G与点E重合.

所以直线CG的解析式为y=3x-3，

联立解方程组

y=3x-3

y=（x-3） （x+1），得

x1=0

y1=-3，

x2=5

y2=12.

所以M（5，12）.

图7

解法2：设MN交y轴于点F，过点M作MGy轴于点G（如图7）.

因为∠CMN=∠BDE，

所以tan∠CMN=tan∠BDE，

即CNMN=BEDE=

12，

所以MN=2CN.

易证CNF，MGF均为等腰直角三角形，

设CN=a，则NF=a，MN=2a.

所以CF=2a，MF=a，

所以MG=FG=22a，

所以CG=322a，

所以M（22a，-3+322a）.

代入y=（x-3） （x+1），解得a=52，

所以M（5，12）.

当点M在x轴下方，

图8

解法1：作∠BEH=45°，交BD于点H，设CM与直线DE交于点G（如图8）.

易求直线EH的解析式为y=-x+1，

直线BD的解析式为y=2x-6，

联立解方程组

y=-x+1

y=2x-6，得

x=73

y=-43，

所以H（73，-43），

所以EH=432.

因为∠CMN+∠DCG=90°，∠BDE+∠EBH=90°，∠CMN=∠BDE，

所以∠DCG=∠EBH，

又因为∠CDG=∠BEH=45°，

所以CDG∽BEH，

所以CDBE=DGEH，即

22=DG 432，

所以DG=43，

所以G（1，-83）.

所以直线CG的解析式为y=13x-3，

联立解方程组

y=13x-3

y=（x-3） （x+1），得

x1=0

y1=-3，

x2=73

y2=-209，

所以M（73，-209）.

图9

解法2：延长MN交y轴于点F，过点M作MGy轴于点G（如图9）.

因为∠CMN=∠BDE，

所以tan∠CMN=tan∠BDE，

即CNMN=BEDE=12，

所以MN=2CN.

易证CNF，MGF均为等腰直角三角形，

设CN=a，则NF=a，MN=2a.

所以CF=2a，MF=3a，

所以MG=FG=322a，

所以CG=22a，

所以M（322a，-3+22a）.

代入y=（x-3） （x+1），解得a=729，

所以M（73，-209）.

综上所述，符合题意的点M坐标为（5，12）或（73，-209）.

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