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中考是对同学们三年初中学习的大检阅,一道道中考题既是同学们要攀登和战胜的一座座山峰,也是我们学习的一座座宝藏,让我们一起通过中考题来探寻学习和解题的奥秘吧!
例1 (2016・江苏南京)如图1,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF是ODB的中位线,且EF=2,则AC的长为 .
【解析】因为EF是ODB的中位线,EF=2,
所以DB=4,又AC∥BD,
所以[ACDB]=[OCOD]=[23],
所以AC=[83].
本题是三角形的中位线和三角形相似的小综合题,只要牢固掌握基本图形、基本知识就可迎刃而解.运用相似求线段长度是中考中常见的题型.
例2 (2016・江苏无锡)如图2,AOB中,∠O=90°,AO=8cm,BO=6cm,点C从A点出发,在边AO上以2cm/s的速度向O点运动,与此同时,点D从点B出发,在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动,过OC的中点E作CD的垂线EF,则当点C运动了 s时,以C点为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切.
【解析】当以点C为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切时,CF=1.5,
AC=2t,BD=[32]t,
OC=8-2t,
OD=6-[32]t,
点E是OC的中点,
CE=[12]OC=4-t,
一种方法是通过证明EFC∽DOC,得到[EFOD]=[CFOC].
EF=[3OD2OC]=[36-32t2(8-2t)]=[98].
由勾股定理可知CE2=CF2+EF2,
(4-t)2=[32]2+[98]2,
解得t=[178]或t=[478],
0≤t≤4,t=[178].
也可以通过证明EFC∽BOA,得到[CFCE]=[AOAB],即[1.54-t]=[810],解得t=[178].
本题综合考查了相似三角形判定、性质和切线的性质,是动态问题,先要通过设未知数t,用t表示线段长度,然后利用勾股定理或相似三角形对应边成比例建立关于t的方程,从而得解.
例3 (2016・江苏苏州)如图3,AB是O的直径,D、E为O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交O于点F,连接AE、DE、DF.
(1)证明:∠E=∠C;
(2)设DE交AB于点G,若DF=4,cosB=[23],E是[AB]的中点,求EG・ED的值.
【解析】(1)证明:连接AD,AB是O的直径,∠ADB=90°,即ADBC,
CD=BD,AD垂直平分BC.
AB=AC,∠B=∠C.
又∠B=∠E,∠E=∠C.
(方法不唯一,也可连接BF进行证明)
(2)连接OE.
∠CFD=∠E=∠C,
FD=CD=BD=4.
在RtABD中,cosB=[23],BD=4,
AB=6.
E是[AB]的中点,AB是O的直径,
∠AOE=90°.
AO=OE=3,AE=[32].
E是[AB]的中点,∠ADE=∠EAB,
AEG∽DEA,[AEEG]=[DEAE].
即EG・ED=AE2=18.
本题是圆和相似的综合题,关键考查圆中弧、弦、角的转化,由于相似是求乘积比较常用的方法,所以在圆中寻找或构造与EG、ED相关的相似三角形是求解本题的关键.
通过对中考题研究可以发现,相似的主要作用是求比值、求乘积、求线段长以及求与线段长相关的量(比如时间)等.每一道中考题都是学习的宝藏,先探究,再回顾,将解题经验内化为解题技能,相信努力的你会越来越优秀.
(作者单位:江苏省常熟市第一中学)