光子晶体反射机理

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本文作者：刘启能 单位：重庆工商大学 计算机科学与信息工程学院

引言

光子晶体的概念是由S．John和E．Yablonovitch在1987年分别提出来的．所谓光子晶体就是其折射率呈周期性变化的人造带隙材料．光在光子晶体中传播时会与光子晶体的周期结构发生相互作用，从而产生带隙．利用光子晶体的带隙可以方便地控制光波的传播，因此光子晶体在现代科学技术上有着广泛的应用前景．这使得对光子晶体的研究成为目前光学的前沿领域内一个活跃的问题［1－6］．目前对一维光子晶体的研究中，在研究方法、带隙特性、缺陷模特性以及滤波理论等方面都取得了丰富成果［7－13］．文献［14］利用传输矩阵法研究了光以大于全反射角入射一维光子晶体时出现的全反射隧穿现象，得出了一维光子晶体的全反射隧穿现象随入射角和结构参量的变化特征．文献［15］利用传输矩阵法进一步研究了一维光子晶体的全反射隧穿效应的滤波特性，发现一维光子晶体的全反射隧穿效应比一维掺杂光子晶体具有更好的梳状滤波特性．但是，在文献［14－15］中有两个重要问题没有得到解决：1）对光子晶体全反射隧穿效应的产生原因没有给出定量的物理解释；2）没有得出光子晶体的全反射隧穿效应中各参量满足的解析表达式，从而不能对全反射隧穿效应中各参量间的内在联系进行定量分析．因此，使得对光子晶体的全反射隧穿效应这一新现象产生的物理机理以及变化规律的认识和理解不够深刻，有待进一步的研究．本文根据一维半无限周期光子晶体的结构特征建立其谐振腔模型，利用光在势阱中的共振隧穿理论解释全反射隧穿效应产生的物理机理，推导出一维半无限周期光子晶体全反射隧穿导带的波长满足的解析公式，分析全反射隧穿导带的波长与光子晶体结构参量之间的依赖关系，并将共振理论的结果与色散法的结果进行比较研究．

1模型与现象

一维半无限周期光子晶体是由氟化镁（折射率为n1＝1．38、厚度为d1）和碲化铅（折射率为n2＝4．1、厚度为d2）两种介质周期性地交替构成，其周期为无限多个，如图1．设入射空间的介质也为碲化铅，即n2＝n0．因n0＞n1，所以当光大于全反射角入射该一维半无限周期光子晶体时应该产生全反射现象，其全反射角θm＝arcsin（n1／n0）＝0．34rad．计算中取中心波长λ0＝600nm，设归一化波长Λ＝λ／λ0，λ为入射光在真空中的波长．研究中采用色散方法，光子晶体的一个周期的传输矩阵M为该一维半无限周期光子晶体的色散关系为cos（Kd）＝（M11＋M22）／2（4）当式（4）的绝对值cos（Kd）≤1时，K为实数，布洛赫波为非衰减波，对应光的导带．当cos（Kd）＞1时，K为复数，布洛赫波为衰减波，对应光的禁带．为了便于绘出导带的图像，引入色散函数FF＝1－cos（Kd）＝1－（M11＋M22）／2（5）利用式（5）绘出色散函数F的图像，在F的图像中F≥0对应光的导带，F＜0对应光的禁带，这种方法称色散法．利用式（1）～（5）可以研究光在大于全反射角入射一维半无限周期光子晶体时出现的全反射隧穿效应．取n1d1＝n2d2＝λ0／4，计算出TE波以入射角θ0＝0．35rad入射该光子晶体其色散函数F随归一化波长Λ响应曲线，如图2．由图2可知，当TE波大于全反射角入射一维半无限周期光子晶体时会出现全反射隧穿现象，即全反射隧穿效应．其全反射隧穿效应具有以下特征：全反射隧穿效应是由多级导带组成，波长最大的隧穿导带称为一级隧穿导带，随着波长的减小分别称为二级隧穿导带、……．图2中归一化波长Λ在0．45附近的是一级全反射隧穿导带，归一化波长Λ在0．22附近的是二级全反射隧穿导带，…．2共振理论本文从一维半无限周期光子晶体的结构特征和光的全反射特征入手进行分析：当光以大于全反射角入射该光子晶体时，由于n0＞n1，光会在从n0入射到n1的界面上发生全反射，但光并不是完全不能进入n1中，光能够以倏逝波的形式进入n1约一个波长的深度［17］．而该光子晶体中n1的厚度d1约为0．25个波长，因此光能够穿过n1进入n2中．当光进入n2层后，会在n2层的前后两个平行界面间往复地全反射，这时n2层就成为一个势垒很高的势阱，也就形成一个谐振腔，如图3．该一维半无限周期光子晶体就由无限多个这样的谐振腔连续排列组成．由谐振腔的理论可知，满足驻波条件的光才能在n2层发生共振而存在．2n2d2cosθ0＝jλ（j＝1，2，3…）（6）由量子力学的隧穿理论可知，满足式（6）波长的光会在n2层中由于共振而积蓄足够的能量，并且满足式（6）的光在谐振腔内相邻两次往复反射所产生的透射波会发生相长干涉．因此，这些波长的光就能够穿过高势垒产生一维半无限周期光子晶体的全反射隧穿效应．这就是一维半无限周期光子晶体的全反射隧穿效应产生的物理机理．由于波的共振理论是波在空间受限区域内传播的重要理论，它不仅能够从本质上解释波在空间受限区域内产生的一系列现象，如共振现象、隧穿现象、模式现象等，而且能够得出共振波长与各参量间的解析关系．因此，共振理论对于研究光子晶体和声子晶体这类空间受限系统是一种十分重要的理论方法，特别是在研究光子晶体和声子晶体中一些现象的形成机理方面共振理论能够给出清晰的物理图像，这是其他数值计算方法所不及的．为了与色散法的计算结果进行比较，由式（6）可得全反射隧穿导带的归一化波长满足的解析式为Λj＝2n2d2cosθ0／jλ0（j＝1，2，3…）（7）由式（7）可以看出隧穿导带的归一化波长Λj与自然数变量j有关，这个j正是用来确定全反射隧穿导带的级数的，j＝1对应一级隧穿导带，j＝2对应二级隧穿导带，……，因此称它为隧穿导带级数．由式（7）看出，归一化波长Λj随着级数j成反比变化．这正好对图2由色散法得出的全反射隧穿效应特征作出了圆满解释．固定n2d2＝λ0／4、θ0＝0．35rad，由式（7）计算出一级和二级隧穿导带的归一化波长分别为Λ1＝0．46和Λ2＝0．22，这个结果与图2中的数值完全吻合．由式（7）可看出全反射隧穿导带的归一化波长由j、n2d2、θ0三个参量决定．其中j对全反射隧穿导带结构特征的影响已经作了讨论．下面进一步对n2d2、θ0两个参量对全反射隧穿导带归一化波长的影响进行研究．由于一级和二级隧穿导带比较明显，本文主要针对一级和二级隧穿导带的特征进行分析，并将结果与色散法的计算结果进行比较．

2．1波长随腔光学厚度变化谐振腔的光学厚度就是式（7）中的n2d2，为了研究方便令n2d2＝Xλ0，X为无量纲的参变量，腔光学厚度的变化通过X的变化实现．则式（7）化为Λj＝2Xcosθ0／j（j＝1，2，3…）（8）由式（8）计算出光以θ0＝0．35rad入射时其一级和二级隧穿导带的归一化波长为Λ1＝2Xcos0．35，Λ2＝Xcos0．35（9）由式（9）绘出归一化波长随腔光学厚度的响应曲线，如图4（a）．由色散法计算出归一化波长随腔光学厚度的响应曲线，如图4（b）．图4（b）中的白色带为一级和二级隧穿导带．由式（9）、图4可知：1）一级、二级隧穿导带的归一化波长都随腔光学厚度成正比变化，这一个结论解析法与色散法完全吻合．2）由式（9）得出一级、二级隧穿导带的归一化波长随腔光学厚度成正比变化的斜率分别为dΛ1／dX1．88和dΛ2／dX＝0．94，由图4（b）中的图像求出的斜率分别为dΛ1／dX＝1．81和dΛ2／dX＝0．95，共振理论的结果与色散法的结果吻合得较好．

2．2波长随入射角变化固定n1d1＝n2d2＝λ0／4，由式（7）得出一级、二级隧穿导带的归一化波长随入射角的变化关系为Λ1＝cosθ0／2，Λ2＝cosθ0／4（10）由式（10）绘出Λ1、Λ2随入射角的响应曲线，如图5（a）．为了比较，利用色散法绘出Λ1、Λ2随入射角的响应曲线，如图5（b）．图5（b）中的白色带为一级和二级隧穿导带，一级隧穿导带明显，二级隧穿导带较弱．由式（10）、图5可知：1）一级、二级隧穿导带的归一化波长随入射角的余弦成正比变化，即归一化频率都随入射角的增加而减小．这一个结论解析法共振理论和色散法是吻合的．2）由式（10）计算出当θ0＝0．35rad时，一级、二级隧穿导带的归一化波长分别为Λ1＝0．47和Λ2＝0．24．而由图5（b）中的图像求出一级、二级隧穿导带的归一化波长分别为Λ1＝0．45和Λ2＝0．23．共振理论的结果与色散法的结果也吻合得较好．从共振理论和色散法的结果比较还可以看出，两种方法的结果并不是完全一致．它们主要的区别在于：共振理论只能给出全反射隧穿导带的中心频率的变化规律，而不能给出全反射隧穿导带的频率宽度的变化规律．色散法还可以给出全反射隧穿导带的频率宽度的变化特征．因此共振理论和色散法在研究全反射隧穿导带的变化规律时具有互补性．

3结论

通过建立一维半无限周期光子晶体的谐振腔模型，利用谐振腔的共振条件推导出一维半无限周期光子晶体全反射隧穿导带波长满足的解析公式，从理论上解释了一维半无限周期光子晶体的全反射隧穿效应产生的物理机理．利用波长的解析公式对全反射隧穿导带的波长随导带级数、腔光学厚度以及入射角的变化规律进行了解析研究，解释了一维半无限周期光子晶体的全反射隧穿效应的变化规律．并且与色散法的计算结果进行了比较，结果发现两种方法得出的结论吻合较好．由于色散法和共振理论建立在不同的理论基础上，这种吻合表明本文建立的一维半无限周期光子晶体的谐振腔模型以及推导出的全反射隧穿导带波长的解析公式都是正确的．