分部积分法的规律总结及典例解析
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摘 要： 分部积分法是求解积分时一种十分重要的方法，它可以求解一些利用直接积分法和换元积分法无法求解的问题。运用此方法时关键在于u和dv的选取，本文主要通过一些典型例题来总结出分部积分法的一般规律。
关键词： 分部积分法 规律 典例
分部积分法是由两个函数乘积的微分运算法推得的一种求积分的基本方法，主要是解决某些被积函数是两类不同函数乘积的不定积分.
设函数u=u（x），v=v（x）具有连续的导数u′（x）和v′（x），则由乘积的微分运算法则d（uv）=udv+vdu，可得：udv=d（uv）-vdu.
两边积分得udv=uv-vdu或uv′dx=uv-vu′dx
上式称为分部积分公式，它把uv′的积分转化为vu′的积分，当右边积分可以求出或右边积分比左边容易求出时，就显示出分部积分公式的作用了.
一、引言
在引出一般规律之前，让我们来先看一个例子.
例题1：求xcosxdx.
解：若设u=x，dv=cosxdx=d（sinx），则v=sinx.利用分部积分公式，得xcosxdx=xd（sinx)=xsinx-sinxdx=xsinx+cosx+C
但若设u=cosx，dv=xdx，即v=x，则
xcosxdx=cosxd（x）=cosx•x-xd（cosx)
=xcosx+xsinxdx.
不难看出，等式右边的积分xsinxdx比原来的积分更加复杂了.
由此可见，如果u、v选择不当，用分部积分法所得的积分可能比原来的积分更难计算.
一般来说，如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，在多数情况下，可按下列顺序：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数，将排在前面的那类函数选作u，后面的那类函数选作v′，然后进行分部积分即可.
二、分类探讨
1.对于xf（x）dx的积分［f（x）为指数函数（三角函数）］，选x作为u，将指数函数（三角函数）凑微分，变为dv.用一次分部积分公式，幂函数指数降低一次，反复用n次分部积分公式，指数降为零次，称为降次法.
例2：求xedx.
解：xedx=xe-2exdx=xe-2xde
=xe-2（xe-edx）=xe-2xe+2e+C
2.对于xf（x）dx的积分［f（x）为反三角函数（对数函数）］，选反三角函数（对数函数）作为u，将xdx凑微分.因反三角函数（对数函数）的微分形式较为简单，故可将原积分转换为较简单形式的积分，亦即转换法.
例3：求xlnxdx
解：xlnxdx=lnxd（-）=-lnx+•dx
=-lnx-+C
（3）对于f（x）g（x）dx的积分［f（x）为指数函数，g（x）为三角函数］，u与dv可随意选取，但用一次分部积分公式无法求出结果，需用两次分部积分公式，且两次必须选同一函数类型的函数凑微分，可得关于所求积分的一个循环等式，然后利用解方程的形式求解出结果，称为循环法.
例4：求ecosxdx.
解：ecosxdx=ed（sinx）=esinx-2esinxdx
=esinx+2ed（cosx）
=esinx+2（ecosx-2ecosxdx）
所以ecosxdx=e（sinx+2cosx）+C.
4.当被积函数是某一简单函数的高次幂函数时，可通过分部积分法得到高次幂函数与低次幂函数的积分关系，称为递推法.
例5：求L=（lnx）dx，并且计算L.
解：L=（lnx）dx=x（lnx）-xd［（lnx）］
=x（lnx）-n（lnx）dx
=x（lnx）-nL
通过计算出L、L、L便可以递推计算出L，这里不再赘述.
5.除了应用上述四种方法之外，有时我们也需要将换元法贯穿在分部积分中来简化计算，下面来看一个例子.
例6：求sindx.
解：被积函数中含有根式，可以先换元再分部积分。设=t，则x=t（t＞0），dx=2tdt，所以
sindx=sint•2tdt=2t•sintdt
=-2td（cost）=-2（tcost-costdt）
=-2（tcost-sint）+C
=2（sin-cos）+C
三、规律总结
综合以上各例，一般情况下，u与dv可以按照以下规律选择：
1.形如xsinkxdx、xcoskxdx、xedx（n为正整数）的不定积分，可令u=xn，余下的则为dv（亦即dv=sinkxdx、dv=coskxdx、dv=edx）.如例1、例2；
2.形如xlnxdx、xarctanxdx、xarcsinxdx（其中n为零或正整数）等的不定积分，应令dv=xdx，余下的为u（即u=lnx、u=arctanx、u=arcsinx）.如例3；
3.形如esinbxdx、ecosbxdx的不定积分，可以任意选择u和dv.但应注意，因为要使用两次分部积分法，两次选择的u与dv应保持一致，即如果第一次令u=e，则第二次也须令u=e，只有这样才能出现循环公式，然后用解方程的方法求出积分.如例4；
4.当积分式中出现由两种或多种简单函数复合而成的函数时，可利用换元法，将内层函数用t代替，然后进行分部积分，最后再将t还原成对应函数即可.如例6.
在利用分部积分法求解积分时，关键是在正确选择公式中的u和dv，然后才能进行分部积分，否则可能将问题复杂化，得不出正确的结果.在求解积分时，有时分部积分法只能解决积分式中的一部分，还需灵活运用其他的积分方法（如：换元积分法等），才能达到正确求解积分的目的.此外，“反、对、幂、指、三”的规律，适用于一般情况下的分部积分，但对于特殊情况还需特殊对待.
参考文献：
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［6］陶燕芳.应用分部积分法的基本技巧［J］.湖北成人教育学院学报，2008，14（2）：103-104.
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