高考复习进行时 解题教学正当时

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美籍匈牙利数学家、数学教育家乔治•波利亚在名著《怎样解题》中体现了其解题思想：解题教学是数学思维的教学，解题作为一种教学手段，通过怎样解题，启迪同学们的思维，达到培养和提高同学们分析问题、解决问题的能力。因此，高考复习进行时，解题教学正当时。

【例1】 已知函数f(x)=14x+2(x∈R)．

(1) 试证明函数f(x)的图象关于点12,14对称;

(2) 若数列{an}的通项公式为an=fnm(m∈N+，

n=1,2…m)，求数列{an}的前m项和Sm；

(3) 设数列{bn}满足: b1=13，bn+1=b2n+bn． 设Tn=1b1+1+1b2+1+…+1bn+1．若(2)中的Sm满足对任意不小于2的正整数n，Sm

分析 （1） 利用证明对称问题的通法：证明y=f(x)=14x+2上任意点P(x,y)关于点12,14对称点P′1-x,12-y还在y=f(x)图象上，即12-y=f(1-x)，即证明f(x)+f(1-x)=12；

（2） 观察

Sm=a1+a2+a3+…+am-3+am-2+am-1+am=f1m+f2m+f3m+…+fm-3m+fm-2m+fm-1m+fmm形式，与（1）的结论有什么联系？ (3) Sm

解 (1) 设点P0(x0,y0)是函数f(x)的图象上任意一点，其关于点12,14的对称点为P(x,y)．

由x+x02=12，y+y02=14， 得x=1-x0,y=12-y0. 所以

点P的坐标为P1-x0,12-y0．由点P0(x0,y0)在函数f(x)的图象上，得y0=14x0+2.f(1-x0)=141-x0+2=4x04+2•4x0=4x02(4x0+2),12-y0=12-f(x0)=12-14x0+2=4x02(4x0+2),即12-y0=f(1-x0)，点P1-x0,12-y0在函数f(x)的图象上．函数f(x)的图象关于点12,14对称．

(2) 由(1)可知，f(x)+f(1-x)=12，所以fkm+f1-km=12(1≤k≤m-1)，

即ak+am-k=12，由Sm=a1+a2+a3+…+am-1+am ① 又Sm=am-1+am-2+am-3+…+a1+am ②

由①＋②得：2Sm=(m-1)×12+2am=m-12+2×16=m2-16，Sm=112(3m-1).

(3) b1=13,bn+1=b2n+bn=bn(bn+1)，对任意的n∈N+，bn>0有1bn+1=1bn(bn+1) =1bn-1bn+1即1bn+1=1bn-1bn+1．Tn=1b1-1b2+1b2-1b3+…+1bn-1bn+1=1b1-1bn+1

=3-1bn+1，又bn+1-bn=b2n>0，bn+1>bn，数列{bn}是单调递增数列．Tn关于n递增． 当n≥2，且n∈N+时，Tn≥T2． b1=13，b2=49，b3=5281，Tn≥T2=3-1b3=7552.Sm

点拨 (2)通过对比Sm的构成特点与（1）的结论联系，确定了首尾相加的求和方法，但需要讨论n的奇偶，为避免对n奇偶的讨论，联想到等差数列求和公式的推导方法――倒序相加法。(3)通过寻求Tn的通项1bn+1与条件bn+1=b2n+bn的联系，确立了裂项相消的求和方法。

【例2】 设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.

（1） 求函数f(x)的单调区间；

（2） 当x∈1e-1，e-1时，不等式f(x)

（3） 若关于x的方程f(x)=x2+x+a在0，2上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

分析 （1） 导数常规题，求f′(x)的零点，分区间讨论符号，注意定义域的限制；(2) f(x)max

解 （1） f′(x)=2(1+x)-2(1+x)(1+x)2=2x(x+2)1+x，则f′(x)>0时，-2

x

（2） 由（1）可知：f(x)在1e-1,0上递减，在0,e-1上递增，则f(x)在1e-1，e-1上的最大值为maxf1e-1,f(e-1)，而f(e-1)=e2-2>f1e-1=1e2+2，则m>e2-2.

(3) 由x∈0,2得f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2=(1+x)2-2ln(1+x)=x2+x+a，即a=x+1-2ln(1+x)，令1+x=x1

∈1,3，

g(x1)=x1-2lnx1，又g′(x1)=1-2x1=0时x1=2，当x1∈1,2时g′(x1)0，g(x1)单调递增，此时g(x1)=x1-2lnx1在1,3上，g(x1)min=g(2)=2-2ln2>0，又g(1)=1>g(3)=3-2ln3，函数y=g(x1)=a的草图（如下图）所示则方程a=x+1-2ln(1+x)=g(x1)在1,3上有两个相异实根时a的范围为：2-2ln2

牛刀小试

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知数列Sn是首项为1，公差为1的等差数列．

(1) 求数列{an}的通项公式；

（2） 令bn=1anS2n+1+an+1S2n-1，若不等式

∑ni=1bi≥L2n+1+1对任意n∈N*都成立，求实数L的取值范围．

【参考答案】

（1） an=2n-1．

（2） bn=12n+12n-1+2n-12n+1=12n+12n-12n+1+2n-1 =2n+1-2n-122n+12n-1=1212n-1-12n+1．∑ni=1bi =121-12n+1=2n+1-122n+1．依题意：

2n+1-122n+1≥L2n+1+1，对任意n∈N*都成立，则L≤33．

（作者：郭建理，江苏省震泽中学，特级教师）