探讨最短路径

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初中数学的一些性质在现实生活中有着广泛的应用，如：两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形任意两边之和大于第三边等，这些性质是行程最短的理论依据。它涉及面广，应用性强，倍受命题者的青睐，近年来在中考或数学竞赛中频频出现。现对解决最短路径问题的方法作如下探讨：

一、利用勾股定理，化立体图形为平面图形

例1如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为。(边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数)

分析从A点滑到E点的最短距离就是将半圆柱展开后，AE的长度。

解设AB上一点F，且BF=CE=2m。

将半圆柱的侧面展开，得到一个矩形，如图，A点到E点的最短距离即为展开后的矩形ADEF的对角线的长度。矩形ADEF的一边长为4πm，另一边长为DE=20－2=18(m)，所以AE= ≈22(m)。

点评本题的难点在于对最短距离的理解。在同一平面上，两点间的最短距离，就是连接两点得到的线段的长度，而本题中要求的是曲面上两点间的最短距离，就应该将曲面展开，再在平面上求最短距离。

例2如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6ｍ的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是ｍ。（结果不取近似数）

分析将圆锥的侧面展开如图所示。由圆锥底面圆周长=2π× = ，可得展开后的扇形的圆心角为180°，从而可在RtBOP中，求得最短距离BP= 。

解答将圆锥的侧面展开如图所示：

圆锥展开扇形的弧长=2π× = ，

圆锥展开后的扇形的圆心角为180°。

B是弧C'C的中点，

BOCC'，

在RtBOP中，

BP= =3 。

即小猫所经过的最短路是3 m。

点评求几何体中的最短距离，一般我们都是转化成平面图形求解的。此处是将圆锥从母线AC处展开的，如果从AB处展开，所求结果应该是一样的，不过图形会有所不同，我们不妨动手画画图。

例3一只蚂蚁沿如图所示长方体的表面从A点爬到B点，试问蚂蚁沿哪条路爬最近？ (长方体的长、宽、高分别为15cm、10cm、20cm、点B离点C5cm。)

分析因为蚂蚁可以从与A点相邻的三个面爬行到点B，考虑将长方体展开成平面图形，可以看出蚂蚁爬行路径最短的情况有三种，如图所示，依次分别求出AB的长，再进行比较，可得结论。

解答从长方体的展开图知，将A和B所在的相邻的两个面展开，用两点间线段最短可求得，最短路径有以下三种情况：

在图(1)中，AB2=AB12+BB12=152+202=625；

AB＝25。

在图(2)中，AB2=252+102=725；AB＝5 。

图(3)中，AB2=352+52=925， AB＝5 。

25

蚂蚁从A点爬行到B点的最近距离是25cm。

点评求几何体表面的最短距离的问题，从以上三例得知：将立体图形转化成平面图形求解，各例的解题思路各有特点，但是解决问题的途径是一致的，都是运用勾股定理和“两点之间，线段最短” 这一性质。由此，我们要善于透过现象，抓住本质，一切问题都可迎刃而解。

二、巧用轴对称的性质

例4如图所示，在一条河的两岸AB、CD分别有P、Q两个村庄，两村商定设计一条道路，并在河上架一座垂直于河岸的大桥，用来连接P、Q两村，方便人们交往，试问：在什么位置架桥，才能使从P、Q两村村民到桥的距离相等。(要求在图上标出道路和大桥的位置，并用字母表示出来)?

分析假设桥是MN，M在AB上，N在CD上，只要有PM=QN即可，由此可以把PM平移，使M与N重合，则点P移到E，那么就要有EN=QN。可以考虑作E点关于CD的对称点G，那么只要有点G和点Q关于过点N的直线对称即可得到QG=GN，则找出QG的中点O，作NOQG，与CD的交点即为N。

解答 如图，

作法：(1)过点P作PFAB于点F，在PF上截取PE等于河的宽度；

(2)作点E关于CD的对称点G，连接QG；

(3)作线段QG的垂直平分线交CD于点N；

(4)过点N作MNCD，交AB于点M；

(5)连接PM，QN；

则路线PMNQ就是点P到桥MN等于点Q到MN距离相等的路线，桥就建在MN的位置。

点评要读懂题意：“使从P、Q两村的村民到桥的距离相等”，联想到轴对称的性质，若两点关于某一条直线对称，则这条直线上的点到这两点的距离相等。本题两次运用了轴对称的知识：①点E与点G关于直线CD对称；②点G与点Q关于直线ON对称。

三、化斜为直求最短距离

例5某轮船航行到A处时观察岛B在A的北偏西75°方向上，如果轮船继续向正西航行10海里达到C处，发现岛B在船的北偏西60°方向上，请按1海里对应0.2cm画出小岛与船的位置关系图，并说明轮船向前航行过程中，距岛B的最近距离。

分析在平面内要想确定某点的位置，应知道两个量，本题已知方向角，故可通过轮船在不同位置观察到小岛B的不同方向角来确定其位置。轮船的航行方向不变，故轮船与小岛的最近距离可转化为“点到线”的最短距离，即“垂线段最短”。

解答如图，过点B作BFAC于点F。

∠EAB=75°，∠EAF=90°，∠BAC=15°。

又∠DCA=90°，∠DCB=60°，∠ACB=150°。

在ABC中，利用三角形的内角和定理知∠ABC=15°，∠ABC=∠BAC。BC=AC=10(海里)。

在RtBCF中，∠BCF=∠CBA+∠CAB=30°，

BF=BC×sin∠BCF= BC=5(海里)。

而点B到直线AC的最短距离就是B到AC的垂线段BF的长度，

所以航行中船离小岛B的最近距离为5海里。

点评解本题，要清楚“方向角”的概念，通过建立数学模型，借助图形将实际问题转化成数学问题，体现了数形结合的思想，这也是解决三角函数类应用型问题的常见解题思路和方法。

综上几例，可见关于最短路径的问题，其解题思路和添加辅助线的都围绕“行程最短”的原则，揭示形与数的内在联系，发挥数学建模思想在解决实际问题中重要作用，同时教会学生勤于思索、善于挖掘、勇于探索的学习方法，培养创造性思维的能力。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”