关于极限思想的思考

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摘 要： 极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，不仅是对数学本质的反映，而且是把知识转化为能力的一种纽带。本文给出了极限法的定义，探讨了极限的发展过程，以及研究极限在一些学科中的简单应用。

关键词： 极限法定义 极限思想发展过程 极限思想的应用

极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要的地位，是研究数学，应用数学，推动数学发展必不可少的有力工具。不仅如此，极限思想还向现代学科扩张和渗透，有力地推动边缘学科和跨学科的产生、发展、深化。

1.什么叫极限法？

所谓极限法就是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法。极限法的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这一结果。极限法不同于一般的代数方法，代数中的加、减、乘、除等运算都是用两个数来确定另一个数，而在极限中则是用无限个数来确定一个数。很多问题用常量数学的方法无法解决，却可用极限法解决。

2.极限思想的发展过程。

古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限论的雏形。我国古代杰出的数学家刘徽于魏景元四年注《九章算术》时，订正了圆周率（圆的周长与直径之比）是“圆三径一”之误。他在计算圆周率的过程中创立并使用了极限方法。在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆和体而无所失矣”。他的这段话是对极限思想的生动描述。到了16世纪，荷兰科学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法。他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法证明步骤。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”。19世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义：“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做其他值的极限。”柯西的变量极限概念的提出，标志着极限概念向“算术化”迈出了决定性的一步，是数学史上的重大创新之一。在柯西关于变量极限的直观动态定义的基础上，德国数学家维尔斯特拉斯从静态的观点出发，把变量解释成一个字母（该字母表示某区间内的数），给出了严格定量的极限概念，即他本人在1856年首次提出的现今广泛使用的ε-δ极限定义：

（1）ε-N的数列极限定义：设{a}是一数列，a是一个确定的数，若对于？坌ε>0，？埚N，当n>N时，有|a-a|

（2）ε-δ的函数极限定义：设函数f在点x的某空心领域u（x，δ′）内有定义，A是一个确定的数，若对任给的ε，总存在某个正数δ（

这样，极限的ε-δ定义使用静态的有限量刻画了动态的无限量，不仅排除了无穷小这个有争议的概念，而且排除了柯西在定义函数的连续性中用到的“变为并且保持小于任意给定的量”这种说法的含糊性，这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立。

3.极限思想在各学科中的应用。

3.1文化里的极限

3.1.1孔子提出的“不愤不启，不悱不发”的教育理念，就提倡教师培养学生主动的思考求索和积极的心理状态准备的把握，也就是说教师在学生百思不解，徘徊不前，穷思竭虑，心燥意烦时对其点拨，启发，使其眼前一闪，灵感惊现。无疑这就是文化中的极限。

3.1.2“孤帆远影碧空尽”就是文学意境和数学概念的相通，即极限概念正是对这种孤帆远影的现实精确化、形式化的解释，也就是说无限远处的逼近是0，是量变引起的质变。又如：诗词中的“大江东去浪涛尽”，男女相思的“望穿秋水”，广告词中的“没有最好，只有更好”等文学文化都彰显着极限的定义。反过来，寓数学思想于文学文化之中，像这样具有极限意境的诗句无不使人心旷神怡。

3.2极限思想在物理解题中的应用

例：宇航员在某一星球上以速度v竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球又落回到原抛物点.然后他用一根长为l的细绳把一个质量为m的小球悬挂在O点，使小球处于静止状态，现在最低点给小球一个水平向右的冲量I，使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动的过程中始终对细绳有力的作用，则冲量I应满足什么条件？

解析：如果给小球的冲量I很小，小球在竖直平面内摆动，细绳中必有张力；如果给小球的冲量I很大，小球在竖直平面内做圆周运动，只要过最高点时的速度大于临界速度，细绳中必有张力。

宇航员所在星球的重力加速度：g=2

设使小球在竖直平面内摆动的最大冲量为I，小球获得的初速度的最大值为v，则由机械能守恒定律：mv解得I=mv=2m

设使小球在竖直平面内做圆周运动的最小冲量为I，小球获得的初速度的最小值为v，由机械能守恒定律：

mv-mv=-mg2l

由牛顿第二定律与向心力公式：mg=mv/l

解得I=mv=m

3.3极限思想在化学解题中的应用

例：取5.4g某碱金属R及其氧化物RO，使之与足量的水反应，蒸发反应后的溶液，得到8g无水晶体，求该金属是什么？

分析：按照常规方法做的话，最终得到的是一个方程，两个未知数，这就要求助数学中的思维方法——极限，把5.4g全部看做金属或氧化物。

解：（1）如果全部是金属

当然真实值应该在10.7～35.3之间，碱金属只有钠在这个范围。

总之，极限思想是人类思想文化宝库中的一朵奇葩，它不仅是对数学本质的反映，而且是把知识转化为能力的一种纽带。随着科学技术的不断发展，生产力的不段提高，在科学的发展史上将发挥越来越重要的作用。我们可以在教学中更多地渗透极限思想，让学生去体会和感受这种思想方法。这样学生沉淀下来的就不仅仅是数学知识，更主要的是一种数学的素养，为以后构建新的数学知识体系，进一步拓宽数学的空间，为独立学习和研究更高深的理论打下坚实的基础。