由一道例题“一题多解”说开去

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摘要：要让学生在平面几何题中能灵活快速地解答问题，不仅要在平时的例题教学中注意例题的典型性，而且还要不失时机地教会学生从不同角度分析问题，广泛联想得到不同的启示，引出不同的解法，加强“一题多解”的训练达到“闻一以知十”，从而激发学生的浓厚的学习兴趣，促进学生思维品质的发展.

关键词：例题；典型；联想；一题多解

中国分类号：G633.6

例题教学是初中数学课堂教学的一个重要环节，尤其是在初三复习阶段，典型例题的教学，它的有效性直接影响课堂教学的有效性。如何避免就题论题，克服题海训练的低效教学，实现素质教育提出的育人目标，贯彻新课程的课堂教学理念？这不仅需要精选例题，明确所选例题中蕴含所要考察的知识点、思想、方法和能力等；而且还需要在例题教学中不失时机地实施“一题多解”。“一题多解”是教师最常用的解题教学方法，也是学生最喜爱的解题学习方式。通过“一题多解”众法寻优的比较，既新颖又独特的“最佳解”使学生思之广、悟之深、爱之切、难之忘；解题教学中适当应用“一题多解”，还可以激发学生发现和创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，增强学生对数学思想和方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性；同时使学生获得成就感，提高学习兴趣。

例题呈现：ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，E点和F点分别在AC和BC边上，且CE=CF，AF与BE交于G点。

（1）求证：∠CAF=∠EBC；

（2）若∠AGE=45°，延长CG交BA于H点，求证：AE=2HG。

分析：本题是数学知识与思想方法的综合运用。该题以三角形为背景，涉及三角形内角和、等腰直角三角形、全等三角形及三角形的中位线等基础知识，还要添加辅助线，要求学生在理清条件的前提下，注重图形之间的转化。第一小题属于基础题，仅仅考察等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，学生很容易解决；第二小题入口宽，学生“八仙过海，各显神通”，可以从多个角度出发思考问题，其解法不尽相同，有利于学生探究思维和发散思维能力的拓展，培养学生思维的广阔性。

（1）方法：在ACF与BCE中，AC=BC，∠ACF=∠BCE=90°，CE=CF，ACF≌BCE，∠CAF=∠EBC；

（2）简证1：（中位线法）从结论出发，要证明AE=2HG，

从等式结构和图形模式猜想H为AB中点联想三角形中位线的

知识，构造三角形的中位线图形模式。

如图1，取EB中点M，连结HM，由（1）得：

∠CAF=∠CBE，又ACB为等腰直角三角形，∠CAB=∠ABC，

故∠BAF=∠ABE，AG=GB，ACG≌BCG，则∠ACG=

∠BCG=45°，H点为AB边中点，即HM平行且等于 ，

∠CEB=∠HMG，又∠AGE=45°，∠CEG=45°+∠CAF，∠CGE=45°+∠CBE，∠CEG=∠CGE，∠HGB=∠HMG，HM=HG，则AE=2HG。

或者延长BE到N，使NG=BG，则由前面的证明方法可知H点为AB边中点，即GH平行且等于 ，只需证明AE=AN即可，把问题转化为证明线段相等。

即使这种思路也可以有不同的思考方法。由题意可得AE=BF，因此结论AE=2HG也可以看成BF=2HG，进而也可以构造如下两种三角形的中位线模型来解决问题如图

简证2：（倍长或补短法）。

延长GH到M，使HM=GH，连接AM。

同简证1可得∠ACG=∠BCG=45°，H点为AB边中点；

易证AHM≌BHG，∠AMH=∠BGH；AM∥BG；

由简证1可知∠CEG=∠CGE，∠CEG=∠CAM

=∠CGE=∠CMA；CE=CG，CA=CM，AE=GM=2GH。

对于这种方法，实际与三角形中线倍长形图形类似，

进而此图形也可以还另一种辅助线的说法，过点A作BE

的平行线交GH的延长线于点M，然后证明H为GM的中点，

其余的证明方法和上面证法几乎相同。

简证3：（折半或截长法）。

取AE中点M，连结HM；同简证1可得

∠ACG=∠BCG=45°；H点为AB边中点，即HM∥GE；

由简证1可知：∠CEG=∠CGE，∠CMH=∠CHM，

CE=CG，CM=CH，GH=ME，则AE=2HG。

其实，也可以说成在AE上截取EM=GH，由前面

证明可知， CE=CG，则可证HM∥GE；又H为AB的中点，

所以M为AE的中点，进而得到AE=2HG。

简证4：（代数法）。

∠ACG=∠BCG=45°；CHAB；由简证1可知：∠CEG=∠CGE=67.5°，∠CAF=∠CBE=22.5°，

∠BAF=∠EBA=22.5°，即出现角平分线和一垂线，所以联想角平分线的性质和特殊直角三角形性质来解题。 设MC=k，则MG=HG=k，CG=CE= ，HC=AH= ，AC= AH= ，AE= ，则AE=2HG。

有的学生可能记住22.5°的三角函数，可以更快地采用代数法得以证明结论。

解题收获：

（1）在遇到证明线段2倍关系的时候，可以考虑三角形中线相关知识来解决。可以把短线段作为三角形的中位线通过线段倍长或作平行线来构造三角形中位线模型，也可以把长线段当做三角形的第三边去构造对应的中位线，最终把问题转化为证明线段相等。

（2）证明线段2倍关系时，可以把结论想象成几何中常见的a+b=c型，利用截长或补短方法来解决。

（3）当分析出题目中有中点时，可以考虑倍长中线或变异法（做平行线）来解决问题。

（4）遇到特殊角的时候，也可以采用纯代数计算的方法来证明线段的和差倍分问题。

在获得问题解决之后，对解法的反思是一个重要环节，而寻找各种解法的利弊和依据，然后启发学生：一道好题能激发人的兴趣，引导人的思想，启迪人的思维，在平时的学习中养成探索不同解题方法的习惯，这样才能更好的提高解题能力。

一题多解是从不同的角度，不同的方位审视分析同一问题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。一题多解也是我们数学课堂教学中的一种常用教学方法，是培养、提高学生的思维能力，分析和解决问题能力的一种有效方法。

参考文献

[1]吴增生，吴振香.数学课堂教学中的任职线索机器运用[J].中学数学教学参考，2006，11

[2]俞剑波.新课程背景下初中数学有效课堂教学的策略[J].中学数学杂志，2007，4

[3]徐小建.从一道中考题谈初中生数学阅读能力的现状[J].中学数学月刊，2010，6