填空类压轴题赏析

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填空题其实就是省略了过程的解答题,其中在最后“出场”的题,往往起着压轴的作用.怎样机智灵活地解答这道题,是一个很有价值的问题.本文选取09年的8道中考题,从赏析的角度加以解说,希望能对读者有所帮助.

例1(北京)如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M,N分别是AD,BC边上的点,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使点A落在MN上,落点记为A',折痕交AD于点E,若M,N分别是AD,BC边的中点,则A'N=;若分别是AD,BC边上距DC最近的 n等分点(n≥2,且n为整数),则A'N= (用含有n式子表示).

赏析:命题者首先要求考生对特殊条件下的问题给出答案,然后要求考生写出一般条件下问题的答案,意在考察学生从特殊到一般的问题解决能力.事实上,在特殊条件下的问题的答案中就隐含着一般问题的答案,就看我们有没有一双慧眼,能识破这其中的玄机:当n=2时A'N=;当n=3时A'N=。据此可推断出所求的答案应是(n≥2,且n为整数).直接计算也不难得到这个结果.

例2(武汉)如图,直线y=x与双曲线y=(x>0 )交于点 A.将直线y=x向右平移个单位后,与双曲线y=(x>0 )交于点B,与x轴交于点C,若=2,则k= .

赏析:把直线的平移,线段的比(相似三角形性质)与求反比例函数解析式巧妙地结合在一起,意在考察学生综合运用知识的能力.过A,B两点分别作x轴的垂线段AD,BE,则有AOD∽BCE.=2,=2.设BE=4a,则CE=3a,OE= 3a+,AD=8a,OD=6a.设A(6a,),B(3a+,),则有=.解得a=.A(3,4). k=12.

例3(上海)在RtABC中,∠BAC=90B=3,M为边BC上的点,连结AM.如果将ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是.

赏析:这是一道看似简单的折叠题,却在不动声色间考察了全等三角形,角平分线的性质,以及三角形面积的知识.取AC的中点D,连接DM,则有ABM≌ADM,AD=AB=3,AC=6.过点M作AB,AC的垂线段ME,MF,则有ME=MF,设ME=MF=h,由三角形面积关系得AB•h +AC•h= AB •AC,即9 h=18,h=2.

例4(重庆)某公司销售A,B,C三种产品,在去年的销售中,高新产品C的销售金额占总销售金额的40%.由于受国际金融危机的影响,今年A,B两种产品的销售金额都将比去年减少20%,因而高新产品C是今年销售的重点.若要使今年的总销售金额与去年持平,那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加%.

赏析:这是一道紧扣时事的经济类考题,既可考察学生的数学知识,又能起到引领学生关心天下大事的作用.设总销售金额为a,则A,B两种产品的销售额为0.6a,C产品的销售额为0.4a.设今年高新产品C的销售金额与比去年相比增加率应为x,则有0.6a(1-20%)+0.4a(1+x)=a,解得x=30%.

例5(哈尔滨)若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为.

赏析:这道题的“题眼”就在于“射线BM交正方形的一边于点F”,交哪一边?不能只注意BC的对边AD,还要注意AB的对边CD.解此题的奥秘在于必须这样分类讨论,否则就会因顾此失彼而致全军覆没.分类作出两种图形:

图1图2

对图1而言,显然有ABE≌BAF,AFM≌EBM,不难求得BM =.

对图2而言,由ABE≌BCF可证 AEBF,从而求得BM =.所以,BM的长为或.

例6(山东)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线 y=kx+b(k>0)和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2), 则Bn的坐标是().

赏析:这是一道把几何图形与一次函数图象相结合的有趣的规律探索题.观察图形,由正方形条件与B1(1,1),B2(3,2),可以得到A1(0,1),A2(1,2),进而得到直线解析式为y=x+1.至此,我们的注意力应专注于确定B3的坐标.

A3的纵坐标为4,第三个正方形的边长为4,所以B3的坐标为(7,4).把B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4), …的坐标联系起来看,我们可以发现:点Bn横坐标为2n-1,其纵坐标为2n-1,故Bn的坐标是(2n-1,2n-1)

例7(南宁)正整数按如图的规律排列.请写出第20行,第21列的数字 .

……

赏析:又是一个规律探寻题,而且是一个排列犹如诸葛亮的八卦阵的规律探寻题.解这类题的秘诀就是冷静观察,发现数值排列的规律.观察第二行第三列的数6与所有行数列数的关系,可以发现6=2,观察第三行第四列的数12与所有行数列数的关系,可以发现12=3,…由此可以推断,第20行第21列的数为201=420.

例8(陕西)如图,在锐角ABC中,AB=4 ,∠BAC=45AC 的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则 BM+MN的最小值是.

赏析:这是一道有一定难度的求动折线最小值的问题,与我们熟悉的求两定点到一条定直线上一动点的连线之和的最小值有显著差别 .但从特殊的条件AB=4 ,∠BAC=45AC 的平分线中,我们还是可以充分发挥想象力,构造出如下图形:

作BEAC于E,则可求得BE=4,当点M是BE与AD的交点,点N是过点E的AD的垂线与AB的交点时,BM+MN的值最小,最小值为4.利用角平分线的对称性,三角形的两边之和大于第三边,及垂线段最短,可以方便地证明这一结论.