MATLAB对图像重建算法教学中的应用

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【摘要】图像重建是根据被测对象的投影数据来获取被测对象中物质分布的信息的一种图像处理技术，应用于生物医学、地质勘探、电子显微等领域。matlab软件具有强大的数据分析、矩阵运算、信号处理、图形显示和图像处理功能，多用于教学科研中。将MATLAB应用于图像重建的教学中，可将重建理论算法实时成像，大大提高学生学习兴趣。本文以滤波反投影算法为教学示例，以MATLAB为实验平台，对正方形黑盒子模型进行递进算法图像重建。

【关键词】图像重建;MATLAB;成像;滤波反投影

1.引言

图像重建是指根据对对象的投影数据来获取对象中物质分布的信息的一种图像处理技术，它在各个应用领域都显示出独特的重要性。例如，在医疗放射学、核医学、电子显微等领域都有很多的应用。图像重建其意义在于对被检测对象获取内部结构的图像而不对对象造成物理上的任何损伤，具备无损检测的显著优点。

从技术层面上来说，所谓图像重建，就是由某个对象的二维截面或断面向一平面内做各个方向的投影，可以获得一系列的一维投影函数，而由投影获取的这些一维投影函数来重建二维截面。其理论知识包括断层成像、投影重建、傅里叶变换、中心切片定理，涉及众多抽象的理论和数学模型，而在MATLAB软件平台环境下，使这些抽象而枯燥的大量数学公式和理论演变为真实的重建图像。这样，学生学习的目的性更强，大大提高了学习兴趣。本文以描述简单的正方形黑盒子模型为例，分别对直接反投影、先反投影再滤波，以及先滤波再反投影算法进行实验，然后选取最优的滤波反投影算法、在最优视角下以及适合的滤波器进行图像重建实验。

2.方法

方案一是直接反投影算法把每次测得的投影数据“原路”反投影到投影线的各个像素上。即指定投影线上所有各点的值等于所测得的投影值。反投影重建算法的一般步骤如下：

图1 反投影重建算法

其理论模型为：

（1）

方案二是在做了反投影后，会得到一个模糊的二维图像b（x，y），所以可以考虑应用一个二维的滤波器来使图像变得清晰。先反投影再滤波的一般步骤如下：

（1）对反投影得到的图像b（x，y）求二维傅里叶变换，得到。

（2）对其乘以斜坡滤波器的传递函数，得到。

（3）对求二维傅里叶反变换，得到。

其理论模型为：

（2）

方案三是FBP（先滤波再反投影）算法可按照以下步骤实现。

（1）以s为变量求投影数据的一维傅里叶变换得到。

（2）对乘以斜坡滤波器的传递函数||，得到。

（3）求的以为变量的一维傅里叶反变换，得到。

（4）求的二维傅里叶反变换，得到。

其理论模型为：

（3）

3.图像重建仿真实验

3.1 不同方法下的图像重建

方案一为直接反投影，用Matlab中的zeros函数创建正方形黑盒子模型图像，用imshow函数显示原图像;用iradon函数实现反投影，参数interp为linear，filter为none。直接反投影算法的显示。

方案二为先反投影再滤波，应用radon函数得到投影图像后，利用medfilt2函数中值滤波得到重建结果。

方案三为先滤波再反投影重建。

重建结果如图2所示。

图2 直接反投影重建结果

3.2 不同视角下的图像重建

当把视角分别变换为10、20、40、80和180时，得到如图3所示的不同结果。

图3 不同视角下的重建结果

以上的仿真结果表明如果视角不够，重建的图像结果中就会显示出令人讨厌的条纹状的伪影。由于数据或重建算法错误和误差造成的图像伪影，伪影（英文是Artifact）的概念指的是原图像中没有的。

3.3 不同滤波器下的图像重建

滤波函数有许多类型，大体可以划分平滑型、增强型和复原型等等，其中平滑型滤波函数在FBP算法中是大多数情况下采用的。滤波函数设计主要是设计窗函数，当然也可以利用Matlab函数库现有的窗函数实现滤波，我们经常用到的滤波函数有R-L滤波函数、S-L滤波函数等等。下面举例说明在不同滤波器下同一幅图像的重建结果。对原图像施加不同程度的噪声，如10dB、20dB、80dB的噪声，再对其施用不同的窗函数，并观察其噪声效果。

通过实验我们得知，R-L滤波函数重建出的图像轮廓比较清晰，但是存在的问题是在空间域中有振荡现象，如果原图像中含有噪声，例如高斯噪声等，重建的图像质量也不够让人满意。对比与R-L滤波函数，用S-L滤波函数重建的图像振荡较小，对含噪声的图像重建出来的图像质量也较好，S-L滤波函数重建的图像在高频响应效果不是很好好，这是因为在高频段S-L滤波函数偏离了理想的滤波函数曲线所致。

结果表明，在有噪声的情况下，对原图像施加不同程度的高斯噪声，10dB、20dB、40dB的噪声，应用不同的即R-L、S-L和Hann滤波器重建出的结果也不同。因此滤波器的选择也是影响图像重建质量的因素。

4.结束语

通过理论和MATLAB软件实现黑盒子的图像重建的可行性分析结果，实现了在无噪声情况下实现不同视角下的图像重建。将MATLAB应用于图像重建教学中，一方面使用教学过程变得生动活泼，另一方面使理论应用于实际，方面学生掌握和实验。

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