常微分方程数学建模

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摘要 近年来，有不少科研工作者采用数学方法进行传染病研究，建立数学模型帮助发现传染病的传播机理，预测传染病的流行趋势。文章简要阐述了传染病模型的发展历程，介绍了一些比较典型的模型。文章也显现了数学方法研究传染病的重要性。

关键词 数学模型；稳定性；再生数；地方病

中图分类号U44 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2011）39-0093-02

1 传染病及其研究

在人类历史上，传染病的多次流行曾给我们人类生存和国家发展带来了巨大灾难。记录表明，早在公元2世纪，瘟疫让罗马帝国由强变弱，最终遭受侵略而灭亡[1]。然而，随着生态环境的的变化，病原体和传播媒介抗药性的增强，国际贸易和交往的发展，原来已经灭绝的某些疾病出现抬头之势。而新出现的性病、艾滋病（AIDS/HIV）更成为人类面对的一大挑战。对传染病发病机理、传染规律和防治策略研究的重要性显得日益重要和迫切。目前，研究传染病的方法大致有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究。本文简单描述用数学方法进行理论性研究，从疾病传播机理方面来反映流行规律，为人们防治决策提供理论基础。

2 预备知识

我们将某一地区的人作如下划分：易感者S（t），表示t时刻未染病但可能被该类疾病感染的人数；潜伏者E（t），表示t时刻处于潜伏期内的人数；染病者I（t），表示t时刻已被感染成病人且有传染力的人数；移出者R（t），表示时刻已经从染病者类移出的人数。总人口设为N（t）。

假设病人传染是通过与他人接触形成的，单位时间内一个病人与他人接触的次数称为接触率，它通常依赖于总人口，因此，我们将它记为U（N）。如果，被接触者为易感者，就会有一定程度的传染，假设每次接触传染的的概率为β0，此时我们称β0U（N）为有效接触率，他表示每个病人的传染能力，从而时刻在单位时间内被所有病人传染的人数，也就是新病人数为：，并称之为该疾病的发生率。当接触率与环境内人口总数成正比，即，此时有效接触率为，于是此时的发生率为：，称之为双线性发生率。当人口数量很大时，通常采用标准发生率：更为合理。当然，对于不同数量、不同群体、不同疾病等诸不同现实背景的问题而言，疾病的发生率较为合理的形式也是多种多样。比如：、、[2,3]等。

3 部分数学模型、结论

模型一：假设总人口数保持恒定，疾病随时间变化较为显著，出生、死亡忽略不计，患病者被治愈后具有终身免疫。采用双线性发生率，恢复率为，即与染病者人数成正比，比例系数为k。由此，建立人口变化的数学模型（常微分方程组）：

分析可知，S（t）有极限。

由此知，如果初始时刻易感者数量大于，假设，则：当时，该疾病就会流行；当时，病人数就会逐渐减少直至为0。此R0称为该疾病的基本再生数。类似的模型还有：

如果患者被治愈后仅具有短暂的免疫期，如果假设免疫丧失率（比例）为，则我们有模型：

模型二、假设人口的出生率系数与自然死亡率系数相等，皆为b，不考虑因病死亡，新生儿都是易感者，患病者被治愈后具有终身免疫。采用双线性发生率，恢复率为，由此，建立人口变化的数学模型：

此模型的基本再生数，无病平衡点，当R0>1时，还有地方病平衡点。通过论证（略）可知，当R0>1时，无病平衡点不稳定，该疾病就会成为地方病；当R0

模型三、如果我们进一步考虑疾病具有潜伏期，假设人口具有常数移民A，自然死亡率系数为d，考虑因病死亡率α，患病者被治愈后具有终身免疫，恢复率为，进入潜伏期后的移出率系数为。采用双线性发生率，则新的模型为：

时，有唯一的无病平衡点，反之当R0>1时，有唯一的地方病平衡点。

可以证明[4]，当时，方程组的无病平衡点全局渐进稳定，疾病逐渐会消除。当R0>1时，地方病平衡点全局渐近稳定，该疾病会成为地方病。

参考文献

[1]F Brauer and C Castillo-Chavez.Mathematical Model in Population Biology and Epidemiology,Tests in Applied Mathematics 40.Springer，2001.

[2]Wei-min Liu,S A Levin,Y Lwasa.Influence of nonlinear incidence rates upon the behavior of SIRS epidemiological models.J.M.B.，1986，23：187-204.

[3]W M Liu,H W Hethcote,S A Levin.Dynamical behavior of epidemiological models with nonlinear incidence rates. J.M.B.，1987，25：359-380.

[4]M Y Li,Liancheng Wang.Global stability in some SEIR epidemic models(to appear)

[5]马知恩，周义仓.传染病动力学的数学建模与研究.北京：科学出版社，2001.

[6]L J S Allen,A M parison of deterministic and stochastic SIS and SIR models in discrete time.Mathematical Biosciences，2000，163：1-33.