因素空间的扩展定义

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摘要：本文提出了因素空间的一种新定义，即扩展的因素空间.首先，原有的因素空间是基于Zadeh模糊集而提出的.但是在（-∞，0）和（1，+∞）上，我们还是有很大的研究空间，所以本文作者就考虑是否也可以按照模糊集的扩展，将因素空间也扩展呢？本文就做了这项工作，并且成功扩展了因素空间.

关键词：Zadeh模糊集；R-Fuzzy集；因素空间

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）10-0194-02

一、引言

早在上世纪80年代初汪培庄教授提出了因素空间的概念，1982年他正式发表了有关因素空间的论文[1].而后这一概念得到了进一步的发展和应用.但是这个因素空间是在0和1之间讨论的，也就是基于Zadeh模糊集而提出的.而在（-∞，0）和（1，+∞）在模糊决策和模糊控制中也有十分重要的作用.例如在“效益趋势”（一般是以利益上升或下降为评估对象，是一个模糊概念，记为Q）的模糊评估和模糊决策系统中，有些因素x■是对Q上升起正面作用的，作用程度用隶属度Q（x■）∈（0，1]来表示；但也有些因素x■对Q上升起反面作用的，作用程度用隶属度Q（x■）∈[-1，0）来表示；还有一些因素x3对Q上升是处在中立状态的，作用程度用隶属度Q（x3）=0来表示.任何一个模糊决策，模糊控制系统中无不存在这样的事实，所以史开泉教授在1997年提出了双枝模糊集[6].2008年李洪兴教授师又提出了R-Fuzzy集的概念，这就弥补了Zadeh模糊集的不足.

根据这一思想，我们考虑因素空间是否也可以进行扩展呢？答案当然是肯定的.

定义1[5] 给定左配对（U，V]，取因素族F？奂V，称集合族{X（f）}■为U上的一个因素空间，如果满足公理：

（1）F=F（∨，∧，c，1，0）为完全的布尔代数.

（2）X（0）={0}

（3）对任何T？奂F，若因素族T是两两独立的，则■f=■f，这里■f是指映射的直积（视因素为映射）.

F叫作因素集，f∈F叫作因素，X（f）的叫作f的状态空间.

定义1的（1）F=F（∨，∧，c，1，0）是一个完全的布尔代数，下面我们研究将F中0和1分别用-∞和+∞替换后的代数结构.

首先明介绍几个概念：

定义2 Zadeh模糊集：

μ■：X[0，1]，xμ■（x）

其中，μ■是隶属函数，μ■（x）是x对A的隶属度.

定义3[6] 双枝模糊集：

S：X[-1，1]，xS（x）

其中，S（x）是x对S的模糊接吻函数.对于给定的x■∈X，S（x■）是x■对S的模糊接吻度.

而后，李洪兴教授将Zadeh模糊集推广，并将双枝模糊集作为特例，提出了R-Fuzzy集.

定义4 R-Fuzzy集：

A：XR

其中，R表示广义实数集，即R=R∪{-∞，+∞}.

将X上全体R-Fuzzy集记为RX.其中A为有界函数时，称A为Fuzzy模糊集，X上全体有界Fuzzy集记为BF（X）.设A∈BF（X），则存在c，d∈R，c≤d，使得A：XR可表示为A：X[c，d].当c≥0，d≤1时，有界Fuzzy集蜕化为Zadeh模糊集.

事实上，我们可以作映射，将Zadeh模糊集和R-Fuzzy集联系起来.即：

A（x）？勖-∞ x=0；tan[π（x-0.5）] x∈（0，1）；+∞ x=1； （1）

涉及到模糊集就一定会有隶属度的问题，下面就研究一下R-Fuzzy集的隶属度问题.

在Zadeh模糊集中，用[0，1]量数表示隶属度，同样对于有界Fuzzy集A，A（x）∈[0，d]表示x对A属于程度的刻画.当A（x）=d时，可以认为x完全属于A；当A（x）=c时，认为x不属于A；当c

对于R-Fuzzy集A的解释：当A无界时，如sup{A（x）|x∈X}=+∞，即？坌d>0，？埚x∈X，使得A（x）>d，表示在X中没有元素完全属于A，只是存在对“完全属于”充分逼近的元素.如果需要完全属于概念，通过补充规定完成.例如通过（1）的逆变换可以把R-Fuzzy集变为一个普通模糊集.

二、模糊集的运算及扩展

下面的工作是把代数结构（∨，∧，c，1，0）扩展到（∨，∧，c，+∞，-∞）上.

定义5 一个集合（-∞，+∞），在其中定义了两种运算“ ”∨、“∧”：

？坌α，β，γ∈（-∞，+∞），∨？勖sup，∧？勖inf，

（1）幂等律 α∨α=α，α∧α=α

（2）交换律 α∨β=β∨α，α∧β=β∧α

（3）结合律 （α∨β）∨γ=α∨（β∨γ），（α∧β）∧γ=α∧（β∧γ）

（4）吸收律 （α∨β）∧α=α，（α∧β）∨α=α

则（∨，∧，-∞，+∞）为一个格.

定义6 如果格 （∨，∧，-∞，+∞）还满足：

（5）分配律 （α∨β）∧γ=（α∧γ）∨（β∧γ）

（α∧β）∨γ=（α∨γ）∧（β∨γ）

则（∨，∧，-∞，+∞）为一个分配格.

在（∨，∧，c，1，0）中，我们有最大元1和最小元0；同样的，在（∨，∧，c，+∞，-∞）中，我定义“极大元”和“极小元”.

定义7 在格（∨，∧，-∞，+∞）中，我们定义符号+∞为极大元，-∞为极小元，如果满足：

（6）？坌x∈（-∞，+∞），x∨（-∞）=x，x∧（-∞）=-∞；

x∨（+∞）=+∞，x∧（+∞）=x；

则（∨，∧，-∞，+∞）有极大元+∞与极小元-∞.

定义8 若在一个具有极大元与极小元的分配格（∨，∧，-∞，+∞）中规定一种余运算c，即？坌x∈（-∞，+∞），有x■=-x；且满足

（7）复原律 c（cα）=c（-α）=α

（8）补余律 α∨（cα）=+∞，α∧（cα）=-∞

则（∨，∧，-∞，+∞）为一个布尔代数.

定义9 若布尔代数（∨，∧，-∞，+∞）还满足：

（9）∨{α|α∈（-∞，+∞）}？勖sup{α|α∈（-∞，+∞）}；

∧{α|α∈（-∞，+∞）}？勖inf{α|α∈（-∞，+∞）}；

则（∨，∧，-∞，+∞）为一个完全的布尔代数.

这样我们就将（∨，∧，c，1，0）成功扩展至（∨，∧，c，+∞，-∞）.

三、因素空间的扩展定义

定义10 给定左配对（U，V]，取因素族F？奂V，称集合族{X（f）}■为U上的一个因素空间，如果满足公理：

（1）F=F（∨，∧，c，+∞，-∞）为完全的布尔代数.

（2）X（0）={0}

（3）对任何T？奂F，若因素族T是两两独立的，则■f=■f，这里■f是指映射的直积（视因素为映射）.

F叫作因素集，f∈F叫作因素，X（f）的叫作f的状态空间.

参考文献：

[1]李洪兴，汪培庄.模糊数学[M].北京：国防工业出版社，1994.

[2]罗承忠.模糊集引论[M].北京：北京师范大学出版社，1989.

[3]汪培庄.因素空间与概念描述[J].软件学报，1992，1（1）：30.

[4]李洪兴.因素空间理论与知识表示的数学框架（Ⅰ）[J].北京师范大学学报：自然科学版，1996，32（4）：452.

[5]史开泉.双枝模糊集（Ⅰ）[J].山东工业大学学报，1998，28（2）：87-96.

[6]汪培庄，李洪兴.知识表示的数学理论[M].天津：天津科学出版社；1994.

[7]李洪兴，袁学海，王加银，等.R-Fuzzy集与Fuzzy系统的构造[J].（待发表）.