基于“过程”哲学观的“旋转变换”教学创新
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一、引言
“过程”哲学观是对数学课程内容的一种看法:数学课程内容不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成、发展与应用的过程和蕴涵的数学思想方法.即概念的形成过程、原理的发现与推导过程、概念或原理与外部的联系及与内部的联系的探索过程、概念或原理的特殊化及一般化的探索过程、发现和提出问题及分析和解决问题的过程、问题解决后的反思过程等,是数学课程内容的有机组成部分.特别是数学思维和思想的展开过程是数学课程的重要内容.辩证地把握“过程”与“结果”的关系,有利于学生理解和掌握数学的知识与技能、体会和运用数学的思想与方法、积累数学活动的经验以及增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力和形成良好的个性.基于“过程”哲学观的数学教学怎样操作?笔者以浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册“2.4旋转变换”为载体,采用研究性变革实践的方式进行了探索.初步的理论求证与实践验证表明,探索中形成的教学操作方法,能辩证地把握“过程”与“结果”的关系,对促进学生和谐发展有积极的作用.本文简录其教学过程,并提供教后反思,供读者参考、研究.
二、教学过程简录
第一阶段:旨在“资源生成”的“有向开放”——预习基础上的交互反馈
第1步:课前预习——自主探索
课前,教师设计如下的“先行组织者”,要求学生课前预习(允许合作研讨).
(1)先指出下列图形的运动特点(从ABC到A′B′C′),再按运动特点将其分类.
(2)生活中有类似于图3、图5的运动现象吗?如果有的话,请你举出尽可能多的生活实例!
(3)通过经历上述观察、分类、举例的过程,对图3、图5的这类运动现象有何感触?
第2步:汇报交流——交互反馈
上课一开始,教师出示课前布置的问题,并要求学生汇报预习成果.同时教师倾听学生的汇报、交流,必要时,教师进行追问、激励、评析.在此基础上教师进行总结:
(1)图1与图4,图形的运动特点是翻折(运动前后的两个图形关于某条直线成轴对称);图2与图6,图形的运动特点是定向移动(运动前后的两个图形的对应点连线平行);图3与图5,图形的运动特点是绕定点旋转(运动前后的两个图形的对应点旋转相同的角度).
(2)图形的旋转运动具有丰富的现实情景,如“电风扇叶片的转动”、“钟表分针的转动”、“螺旋桨叶片的转动”、“钟摆的转动”等.
(3)生活中旋转现象具有广泛的存在性;图形旋转是物体旋转运动的数学抽象?图形旋转能使局部的图形变成整体的图形,能使分散的图形集中起来,能使分散的条件相互沟通.
第二阶段:旨在“发展思维”的“互动生成”——研讨基础上的综合概括
第3步:引导探究——合作研讨
正因为这样的图形改变(旋转)有丰富的现实情景和广泛的应用价值,就决定了从数学角度研究这样的图形改变的必要性.这节课的研究对象就是这样的图形改变(旋转).(揭示课题)
接着,教师依次提出以下3个挑战性的问题,要求学生合作研讨并发表自己的观点.
问题1 如图3、图5,这样的图形改变(旋转)的本质特征是什么?你是怎样发现的?如果回答这个问题有困难,请先思考:①图形是由点组成的,图形运动能否看成是图形上点的运动?②考察图形上点运动特征的策略是什么?
学生独立学习(允许合作研讨),教师巡视指导,约2分钟后进行交流、评析.
问题2 怎样确定图形改变后的新图形?如图7,O是ABC外的一点.怎样作ABC绕定点O按逆时针方向旋转60°后的图形?
学生独立学习(允许合作研讨),教师巡视指导,约2分钟后进行交流、示范.
问题3 ①分别指出图3、图5和图8改变前后两个图形的对应点、对应边、对应角?②问:改变前后两个图形有哪些不变关系(位置关系或数量关系)?(提示:可从整体(着眼于图形)和局部(着眼于边、角、点)多个视角进行观察)
学生独立学习(允许合作研讨),教师巡视指导,约3分钟后进行交流、评析.
第4步:建构理论——综合概括
在此基础上,教师引导学生概括得出旋转变换的概念、确定旋转变换后像的方法、旋转变换的性质、旋转变换蕴涵的思维方法和思想方法及“三种几何变换”的异同.
(1)旋转变换的概念:由一个图形改变为另一个图形,在改变的过程中,原图形上的所有点都绕一个固定的点,按同一个方向(按顺时针,或逆时针),转动(作圆周运动)同一个角度,这样的图形改变叫做图形的旋转变换,简称旋转.这个固定点叫做旋转中心,旋转的角度叫做旋转角,经变换所得的新图形叫做原图形的像.
(2)确定旋转变换后像的方法:①操作法——图形整体旋转(依据是旋转的含义).这种方法的优点是直观,缺点是操作不方便;②作图法——图形旋转化归为点旋转(依据是旋转的特征),这种方法的优点是操作方便(更有“数学味”),缺点是抽象.两种思想方法都有应用价值,不可偏废.
(3)旋转变换的性质:旋转变换不改变图形的形状和大小——旋转前后的两个图形的对应边相等、对应角相等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.旋转变换前后的两个图形的不变关系是进一步认识几何的理论基础.
(4)旋转变换蕴涵的思维方法:一般到特殊(图形运动点运动特殊点运动)和特殊到一般(特殊点运动点运动图形运动);旋转变换蕴涵的思想方法:通过图形旋转运动将局部的图形变成整体的图形,将分散的图形集中起来,将分散的条件相互沟通.这些思维方法和思想方法具有广泛的应用价值.
(5)“三种几何变换”的异同:轴对称变换、平移变换、旋转变换的相同点:①它们都是过程性概念,描述的是图形运动;②它们变换前后的两个图形的形状、大小都不变;③它们蕴涵的思维方法和思想方法都相同.轴对称变换、平移变换、旋转变换的不同点:①它们图形运动的特点不同——轴对称变换的运动
特点是翻折,平移变换的运动特点是定向移动,旋转变换的运动特点是绕定点旋转;②它们运动前后两个图形的方向不同——轴对称变换改变图形方向,平移变换不改变图形方向,旋转变换改变图形方向;③它们改变前后两个图形的部分不变关系不同、应用范围不同等.
第三阶段:旨在“发展技能”的“尝试运用”——解答基础上的反思拓展
第5步:尝试运用——解答问题
教师在综合概括的基础上,依次提出下列4个有代表性问题,要求学生在独立学习的基础上交流合作.
问题4 (辨别)如图9,正确表示将正方形X绕点O按顺时针方向旋转60°的是哪一个?为什么?
学生选择与分析,必要时,教师进行追问、评析.
问题5 (概念识别)①如下页图10,经过怎样的旋转变换,可由射线OP得到射线OQ?②下页图11是一双手的图片,能否经过一定的旋转变换,使左手的图形与右手的图形重合?经过轴对称变换呢?从中可以得到什么结论?
学生口述,必要时,教师进行追问、评析.
问题6 (方法演示)如图12,以点O为旋转中心,将线段AB按顺时针方向旋转60°,作出经过旋转变换后所得的像.请你提供尽可能多的方法,并求出像与线段AB所成的锐角度数.
学生作图操作,教师巡视指导,约2分钟后进行交流、评析.
问题7 (问题解决)图13是一个直角三角形的苗圃,由正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成,如果两个直角三角形的两条斜边长分别为3米和6米,你能求出草皮的面积是多少吗?
学生独立学习(允许合作研讨),教师巡视指导,约2分钟后进行交流、评析.
第6步:做后思考——反思拓展
教师在学生用数学方法和理论解答有代表性问题的基础上,依次提出以下2个反思性问题,要求学生合作研讨并发表自己的观点.
问题8 问题6,作图的策略(思想)是什么?用的是什么方法?具体使用了哪些技巧?一般地,旋转变换前后两个图形对应边所在直线的夹角与旋转角有何关系?
问题9 问题7,解题的策略(思想)是什么?用的是什么方法?具体使用了哪些技巧?一般地,用旋转变换的思想方法解题的条件是什么?
教师在学生充分发表意见的基础上给出问题的答案:
(1)问题6作图的策略是用图形旋转的特征,用的是用作图工具作图的方法,使用的技巧是:①先将点A,B绕定点O按顺时针方向旋转60°得A′,B′,再连结A′,B′;②先过点O作线段AB所在直线的垂线,设垂足为N,然后将点N绕定点O按顺时针方向旋转60°得N′,再过点N′作ON′的垂线,并在垂线上取N′A′NA,N′B′NB.一般地,旋转变换前后两个图形对应边所在直线的夹角等于旋转角或等于周角减去旋转角.
(2)问题7解题的策略是用图形旋转的思想,用的方法是将BEC绕点B按逆时针方向旋转90°,使用的技巧是:先将BEC绕点B按逆时针方向旋转90°,使分散的两个三角形变成一个大的直角三角形,再用三角形面积公式求此三角形的面积.一般地,问题涉及等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正方形时,可考虑用旋转变换的思想方法.
第四阶段:旨在“拓展生成”的“开放延伸”——学生回顾基础上的教师总结
第7步:回顾思考——交流合作
教师在解题后反思的基础上,列下“问题清单”,鼓励学生围绕问题进行交互反馈.
(1)学习旋转变换有何意义?旋转变换有何特征?旋转变换有何特性?
(2)描述旋转变换有几种方法?确定旋转变换后所得的像有几种方法?
(3)旋转变换与轴对称变换、平移变换的相同点是什么?不同点是什么?
(4)你在学习过程中,感受到了哪些思维方法?获得了哪些数学活动的经验?
(5)你在学习过程中,感受到了哪些思想方法?碰到了哪些困难?有何感触?
第8步:课堂总结——课后欣赏
教师在倾听学生交互反馈后,让学生欣赏旋转变换的自述(这部分内容可以移至课后):
Hi!我是旋转变换.我与轴对称变换、平移变换一样是描述图形运动的一种形式.我运动的特点是图形上所有点绕定点按同一个方向转动同一个角度.表示我的方式有两种:文字表示和图形表示.确定变换后像的方法有两种:操作法——图形整体旋转(依据的是我的含义);作图法——图形旋转化归为点旋转(依据的是我的特征).我有许多性质:变换不改变图形的形状和大小——旋转前后的两个图形的对应边相等、对应角相等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度;变换前后两个图形对应边所在直线的夹角等于旋转角或等于周角减去旋转角.我能将局部的图形变成整体的图形,将分散的图形集中起来,将分散的条件相互沟通.之所以人们喜欢我,是因为我是解决涉及等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正方形等几何问题的有效工具.告诉你:认识我要运用一般到特殊(图形运动点运动特殊点运动)以及特殊到一般(特殊点运动点运动图形运动)的思维方法,要重视用我解决几何问题的思想方法,你可以类比认识轴对称变换和平移变换的方法来认识我,你在认识我的过程中,还能发展智力、能力和个性.
三、教后反思
像古生物学家依据动物一个牙齿化石恢复已灭绝动物的全貌一样,我们从这个课例中也可以得到以下基于“过程”哲学观的数学教学操作方法.
(1)依据“规律”构建教学结构.如本节课教学过程结构的构建依据是数学发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律.它是一个“具体(旨在激活新知识‘生长点’的定向活动)抽象(旨在生成‘数学方法和理论’的引导探究)具体(旨在发展‘智慧技能’的数学应用)”的自然、简单、动态、和谐的过程,是一个以数学知识发生发展过程为载体的学生认知过程和以学生为主体的数学活动过程.这是贯彻“过程”哲学观的前提.
(2)用合适的问题来驱动学生思考.思维和思想的展开过程始于问题,设计一些具有一定思考性、探索性、思想性、趣味性的或能引起学生认知冲突的问题与讨论作业等是引发学生思考的支持性条件.如本节课的4个学习阶段都用问题来驱动学生思考.导人性学习活动中的问题含有新知识的“生长点”且具有定向指导性.探究性学习活动中的问题关注了四性:必要性——内容是否有探究的必要;目的性——探究目标是否明确;可操作性——学生是否有思维前进的方向;有效性——能否引发学生积极思维.应用性学习活动中的问题具有代表性和反思性,总结性学习活动中的问题检测性.这是贯彻“过程”哲学观的策略.
(3)用适度引导来促进学生思维.要求学生经历过程中的思维站点,有时需要教师价值引导.如本节课,引导的策略有:在新旧知识的衔接处“导”;在重难点知识的关键处“导”;在操作探究的迷惘处“导”;在思维障碍处“导”.引导的方法有:思维跨度大时的问题暗示;困惑或认识模糊时的点拨;思维受阻时的“元认知提示语”发问;思维混乱时的辨析;思维偏离方向时的干预;观念碰撞时的评价;方法多样化时的价值分析;回答不完善时的追问;回答有创意时的激励等.引导的技巧有:用系统连贯的“问题清单”或设置问题的提示语;用直观演示或有启发性的语言;用化归的方法或以“退”求“进”的策略;用反思性问题、激励性语言等.这是贯彻“过程”哲学观的方法.
(4)用适时的互动来加深学生理解.个人根据自己的知识和经验所建构的对外部世界的理解是不同的,也存在着局限性,通过意义共享和协调,才能使理解更准确、丰富和全面,并能通过“成人”而“成事”,通过“成事”而“成人”.传统教学的最大弊端是信息单向传递(缺乏双方互动的话语交集),而采用独立思考基础上的交流合作的方式,能从传统教学中学生处于“被动”“盲从”“旁观”的状态转变为“独立自由”“平等对话”“积极互动”的学习状态.如本节课采用了“实施三分钟停顿”、激活小组学习、教师充当学生学习的促进者、指导者和合作者、营造情感体验的“氛围”、实施“积极的认知干预”、设置判断学生对知识的真正理解和掌握情况的问题等策略.这是贯彻“过程”哲学观的技巧.
(5)用课前预习为经历过程提供保障.课前预习有价值的“先行组织者”有这 样一些功能:它可以充当由已知通向未知的桥梁;它能为学习新知识提供先备条件,使不同层次的学生在学习新知识之前达到学习新知识所需要的大致统一的知识水平;它有利于学生打开理性思维的“闸门”;它有利于解决经历过程对按时完成教学任务带来挑战的矛盾;它有利于在“抽象”阶段形成多边思维碰撞的学习状态;它有利于调动学生探求新知的积极性和自觉性,使数学学习成为学生的一种期待成为可能.这对贯彻“过程”哲学观有积极的作用