基于时间满意度和随机模拟的应急物资调度模型
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【摘要】基于点对点运输模式和中转运输模式，考虑物资调度成本和需求者对于物资的时间满意度，文章研究应急事件发生初期物资的调度数量问题。针对时间满意度的主观性，通过类比被困人员生存概率函数来定义应急物资的时间满意度函数，从而建立了时间满意度和调度成本的双目标整数优化模型。选取上海市交通信息并随机模拟部分数据，探讨了不同物资紧急程度和两目标不同权重组合下的调度策略。
【关键词】时间满意度 调度成本 双目标整数优化模型 随机模拟
引言
近年来突发事件发生后应急资源分配问题成为学术界的研究热点，也有了一定的研究成果。本文将基于满意度与成本两大决策因素，制定出设施地址选择及调度数量的合理方案，从而帮助决策者更好地开展救援工作。
由于应急事件具有突发性、不确定性、造成影响不可准确估计性等特点，因此使得应急事件救援工作具有很大的随机性特征。在本文中，灾区需求量设定为与该区域常住人口数成正比的随机函数，运输成本、运输时间均假设为与运输距离成正相关的线性函数，具体计算方法在下一部分说明。
二、应急物资调度动态模型
（一）问题界定与假设。
在突发事件发生时，应急物资调度的一般流程为，先由供应点 将物资运输到中转点 ，再由中转点运输到各个受灾点 ，到达中转点的物资可根据需要运输至任意受灾点。应急救援部门将在有限时间、空间和资源约束下采用合理的运输方式将应急物资从供应点运送到各需求点，以使受灾损失最小。建模之前先作如下假设：
（1）各个需求点对各物资需求的紧急程度已知。
（2）各个需求点的资源只可由供应点通过中转点供给，且有且只有一个中转点进行应急物资的中转运输。
（3）在应急调度初期，资源供应量总是小于资源需求量，即供不应求。
（4）各个供应点、受灾点以及中转点之间的运输时间可由道路损失状况计算得知。
（5）应急调度的物资为日常物品，不考虑特殊物品，物品的大小、重量等均化为标准单位来计算。
（6）在应急过程中，能够调度的人员、车辆均无限制。
（7）由于自然灾害的种类、以及交通工具的选择，使得单位物资量的运输成本很难准确得到，本文将单位物资的运输成本由运输距离来表示，为ad（a>0）。
（二）参数与变量定义。
定义参数和变量如下：
i应急物资供应点； N应急物资供应点i组成的点集，个数为n个，且i∈N；j灾害受灾点；
M灾害受灾点j组成的点集，个数为m个，且j∈M； l物资调度中转点；
r应急调度物资， r∈R； K物资调度中转点l组成的点集，个数为s个，且l∈K
tilr，tljr分别表示物资从供应点i运输到物资中转点k和受灾点j的时间，
dilr，dljr分别表示物资r从供应点i运输到物资中转点l的距离、从中转点l运输到受灾点j距离
qilr，qljr分别表示从供应点i运输到中转点l物资r数量、从中转点l运输到受灾点j物资r数
θjr受灾点j对于物资r在时间要求上的紧急程度
cl中转点l的物资容量，其中l∈K
gir在供应点i对于物资r的单位库存成本
hir在供应点i物资r的供应量
ui供应点i的仓库容纳力
pilr从供应点i到中转点l物资r的单位运输成本
pljr从中转点l到受灾点j物资r的单位运输成本
Djr决策者对受灾点j的需求量估计值
（三）数学模型。
在本文中，拟构建的规划模型有两个目标：一是最大化灾区群众的时间满意度Z；二是最小化总调度成本G，其中调度成本包括物资的储存成本和运输成本。
群众满意度模型，即是物资需求者对于物资救援的时间满意度最大。借鉴关于地震被困人员生存概率函数的研究假设，可以认为某需求点j的时间满意度函数类似于被困人员生存概率函数的形态，这里设受灾点j对于物资随着物资运达时间t（单位为分钟）的时间满意度函数为 ，其中θj表示受灾点j对于物资在时间要求上的紧急程度，其值越小，表明该点对于物资的紧急程度越大。满意度的取值为[0，1]，将其图像绘制如下：
从图中可以看出，对同一种物资，随着物资到达时间t的增加，需求者满意度急剧下降；下降到一定程度后，随着物资到达时间t的增加，需求者时间满意度下降的速度明显变慢。
物资由i到l再到j，假设每单位应急物资可以使需求点j的一位受灾人员得到救助，那么可将每次送达的物资数量作为受灾群众时间满意度的满意度赋权，因此受灾点j的灾区群众总体时间满意度可以表示为所有物资送达时间满意度的赋权和，如下：
其中，fij为由i运往j的物资数量，tij为由i运往j的运输时间。
成本模型，即是最小化物资调度的成本。计算调度物资成本时，分为两阶段。第一阶段为储存期G1，成本主要是各物资在各供应点i的库存成本.第二阶段，即灾害发生开始进行物资的应急调度，则成本主要是物资的运输成本G2，
综合以上，可得出受灾群众时间满意度最大的目标函数和调度总成本最小函数，如下：
M为足够大变量 ； ；
.
其中，式（3）为供应点 的库存能力约束；式（4）为物资可用量约束；式（5）表示物资的单位运输成本为运输距离的函数；式（6）为运量约束；式（7）表明每一个受灾点 都由一个中转点提供服务；式（8）表示物资供不应求；式（9）应急物资没有剩余；式（10）表示运往受牡愕奈镒柿坎怀过该点的需求；式（11）为每个受灾点均被运输到物资；式（12）为0-1变量约束；其他为变量非负约束。
（四）目标转化。
上述所构建的多目标混合整数规划模型是最大化灾区群众的满意度和最小化应急调度成本，在实际救援中，为了达到较好的救援效果，显然决策者往往更注重目标（1）。为使多目标函数转化为单目标函数，设w1和w2分别为目标函数（1）和（2）的期望权重，往往w1大于w2，即w1≥w2.
根多目标线性规划的思想，设Z1+和Z1-分别为只有目标函数（1）情况时的最优解和最差解； Z2+和Z2-分别为只有目标函数（2）时的最优解和最差解，进行如下目标转化：
目标函数（13）表示最小化总目标；式（14）表示决策者的决策偏好，表明在多目标下的最优解与单一目标下最优解的相近程度要大于某一阈值。
三、数据实验和结果分析
为了验证本文所构建模型的有效性，使用上海市地图数据进行分析。其中选用静安区作为物资库存点i，黄浦、徐汇、长宁、普陀、杨浦为物资运输的中转点l，编号分别为1、2、3、4、5，其他10个区（不包括崇明县）浦东、闸北、虹口、宝山、闵行、嘉定、金山、松江、青浦、奉贤作为受灾点j，编号分别为①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩。（2015年11月静安区与闸北区已合并，但由于两者地理位置及边界特征，为了调度科学方便起见，此处仍将其看作两处）
根据《中国公路营运里程图集》，将得到各个区域之间距离。根据以往自然灾害后调度物资资料，考虑到车流量、路面积水等路况，假设由供应点运往受灾点物资（多位于市中心）的车辆运输速度为25km/h，中转点运往受灾点物资（多位于郊区）的车辆运输速度为35km/h，由此可计算得出各个运输时间t.假定本案例中仅有某一必须物资r，其紧急程度对于各受灾点相同。各受灾点的需求量根据各区域人口密度和年末常住人口来确定，该必需品与年末常住人口成正比，数据可由《2015年上海市统计年鉴》得到。
在本例中，必需品物资r的需求量由各地区人口数量成正向线性关系，假设总供应量一共为hir=0，总需求量为Djr=120，可由各地区人口数量得出各地区的需求量，同时假定各个中转点的库存能力依次为38、30、25、38、20，各个需求点对物资的需求量依次为36、6、6、13、17、10、5、11、8、8.（注：物资的单位已经转换成统一单位），物资的单位库存成本
将不同θ值与不同权重值带入lingo软件运行，各结果如下各表所示：
从模型下求得的试验结果可以得出，在同一θ值即某一紧急程度物资下，当满意度的权重增加，满意度在增加的同时成本也将增加，且成本增加的速度快于满意度增加的速度，这是符合实际情况的；在相同权重下，随着θ值减小即物资紧急程度增加，由于物资量和运输路线的调整，调度成本和满意度均会增大，即对于越紧急的物资，政府应越加大投入使物资能够充足快速的到达灾区，相同数量运输下紧急物资的满足程度更高。
四、结论与展望
运输路线的选择和应急资源优化配置是应急管理领域里的关键问题，本文在分析大规模突发事件发生后应急物资一般的运送流程的基础上，构建了时间满意度与应急成本的多目标混合整数规模型，在决策者不同偏好下求解最优调度方案：
（1）通过自然灾害规律预测出灾害发生的大致时间区间，提前备好物资，会大大提高应急调度的效率和时间满意度。
（2）以物资时间满意度代表灾民对于救援调度工作满意度，并用被困人员生存概率函数类比灾民满意度函数，比起传统的用受灾点相对需求比例衡量满意度更具有可量化性和准确性。
（3）提出了成本和满意度的均衡问题，在以往的应急方面研究中，并没有很多的提到成本问题，然而每次应急事件发生不计一切成本调度物资是不现实的，也是不符合经济效益原则的，本文通过构建多目标混合整数规划模型使得成本和满意度之间达到均衡，保证了在一定成本下的满意度最大，具有很强的现实性。
考虑在大规模突发事件发生后，救援车辆使用没有限制是不切实际的，因此考虑运力不足时成本与满意度均衡条件下的物资调度是下一步研究的重点。
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