学会,会学,爱学
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邀请到江苏省小学数学特级教师、苏州市吴中区东山实验小学吴金根校长来校听课实在是对于笔者乃至整个学校的巨大荣幸。在听完“统计――平均数”一课后，吴校长面向学校全体听课教师，提出了许多真知绰见，分享了他的教育智慧。吴校长在评课中指出“三维课程目标中‘知识与技能’目标就是要求学生‘学会’，‘过程与方法’目标就是要求学生‘会学’，‘情感态度价值观’目标就是要求学生‘爱学’。”笔者针对吴校长提出的这三个方面，重新设计了课堂教学，取得了良好的教学效果。
【教学内容】
苏教版数学三年级第一学期92、93、94页“统计”
【教学目标】
1.在丰富的具体环境中，感受求平均数是解决一些实际问题的需要，并通过进一步的操作和思考体会平均数的意义，学会计算简单数据的平均数（结果是总数）。
2.在运用平均数的知识解释简单的生活现象，解决简单实际问题的过程中，进一步积累分析和处理数据的方法，发展统计观念。
3.进一步增强与他人交流的意识与能力，体验运用已学的统计知识解决问题的乐趣，建立学习数学的信心。
【课前预设】
创设情境：如图1，在期末考试中，小张、小王、小李都取得了100分的好成绩，姚老师有6颗糖果，决定奖励给这三位同学……
[小张 小王 小李]
图1
预设目的：让学生发现出这种分发不公平，并追问“如果你是小张，你会怎么做？”通过活动将小张的一颗糖移给小王，让学生初步体会用“移多补少”的方法将每个人的糖分得一样多，为接下来的课堂教学做下铺垫。
【教学过程】
“学会”阶段
师：在一节体育课上，男生和女生正在进行套圈比赛，每人套10次，看谁套得多，这是他们的比赛成绩的统计图，从图2上，我们可以看出首先出场的是谁？
生：男生出场的是李晓刚，女生出场的是吴燕。
师：他们分别套中了几个？
生：李晓刚套中了6个，吴燕套中了10个。
师：这一轮比赛中，这男生套得准一些还是女生套得准一些？
生：女生。
师：男同学不用着急，比赛还在继续，看，他们又请来了几名帮手，男生这次请来了两名帮手，他们分别是张明和王宇，他们分别套中几个呢？
生：张明套中了9个，王宇套中了7个。
师：再来看看女生组，她们请来了刘晓娟和史敏敏，这两位女生分别套中几个呢？
生：4个和7个。
师：观察统计图，比赛进行到现在，男生和女生，谁套得比较准一些？
生1：男生准。
生2：男生准。
生3：男生准。
师：怎么都觉得是男生准一些呢？你们比较的是什么？
生：总数。
小结：恩，跟我想到一块儿去了，现在男生组和女生组各有3个人参加比赛，比较个人的成绩就不太合适了，我们要像刚才那位同学一样，通过比较他们套中的总个数，来判断谁套得更准一些。谁来列式算一算，男生套中多少个，女生呢？
生：男生6+9+7+6=28（个），女生10+4+7+5+4=30（个）
【设计意图：分层次地呈现出教材所给的男女生套圈成绩统计图，使课堂教学条理更加清晰合理，先设计一男一女套圈成绩的比较，让学生容易上手，在过渡到3V3的比较中，学生稍动脑筋，就会知道比较“总数”的方法，通过解决这两道“简单”的问题，带领学生复习统计知识的同时为其建立学好下面知识的信心。】
师：现在男生组扳回一局，但是比赛还没有结束，瞧！所有的运动员都到齐了，观察统计图，现在你觉得是男生套得准一些，还是女生套得准一些？先把你的想法说给同桌听一听。
生1：我觉得女生套得准，因为男生总共套中了28个，女生总共套中了30个，所以女生套得准。
师：嗯，你比较的是总数。你们同意她的观点吗？
生2：我不同意，现在女生比男生多一个人，这样比不公平。
师：哦，你注意到了现在男女生的人数不同，男生有（齐声：4人），女生有（齐声：5人），人数不同，比总数不公平，嗯，有道理！那你觉得应该怎么比呢？
生2：让男生再加入一个选手。
师：好办法！男生再加入一个选手，男生双方就都是5位选手了，这样就可以比总数了，这个方法可以，但是，现在，姚老师就是想让4位男生和5位女生比，不是比哪一方套得多，而是比哪一方套得准，该比什么呢？
生3：我比较他们平均每个人套中的个数。
师：说得太好了！他刚才那句话中有一个词说得非常好，你们知道是哪个词吗？
生（齐声）：平均。
小结：对！就是“平均”。（板书：平均）现在两边的人数不一样，比较总数就变得不公平了，这位同学给我们提供了一种新的思路，比较平均每个人套中的个数，这样既考虑到了总数，又考虑到了人数，真是一个两全齐美的好办法，对于想出这样好办法的同学，我觉得应该用掌声来鼓励一下。
【设计意图：在有了比较“总数”的铺垫之后，将整个男女生套圈成绩统计图和盘托出，给学生制造出一种迫切需要解决的难题，在人数4V5的时候，再比较总数，不公平了，该怎么比呢？如果说之前的比较个人成绩属于“学生从哪里来”，比较3个人的总成绩属于“学生现在在哪里”，那么现在所需要用到的知识便是“学生要到哪里去”了，一些有生活经验的学生就会知道，可以比较平均每个人套中的个数，在这里，教师并不将“新知”直接传授给学生，而是通过一步一步的引导，让他们将自己所知道的发掘出来。】
师：下面老师就要来瞧瞧谁的眼力好，你能从这幅图中，看出平均每人套中多少个吗？
生：7个。
师：你怎么这么快就看出来了，能给大家介绍一下你的方法吗？
生：我将张明的两个分给李晓刚和陈晓杰，这样看上去每个人都套中了7个。
师：为什么要去移张明的呢？（因为他最多），为什么要移给李小刚和陈小杰呢？（因为他们最少），像刚才这样，把多的移给少的，这样方法就叫做“移多补少”（板书），通过“移多补少”的方法，男生每人看上去都套中了多少个？
生：7个。
师：这里的7，我们就把他称为男生套圈的平均数（板书），平均数是7，是不是说明每人男生都正好套中了7个呢？
生（齐声）：不是。
师：这里有没有套中个数比7个多的男生？（有，是张明）有没有套中个数比7个少的男生？（有，是李晓钢和陈晓杰），还有一个？（王宇套中的个数正好是7个）
师：同学们，平均数是7，并不是具体指某一个人套中了7个，而是代表了平均每个男生套中了7个，它可以很好地反映出男生的整体水平。
师：哦，原来啊男生的整体水平是平均每个人可以套中7个，用刚才的方法，你能看出女生平均每人套中多少个吗？先请几个同学来估一估。
生1：6个。
生2：5个。
生3：6个。
生4：7个。
师：同学估计的都在一个很小的范围里面，有人估计是5人，有人估计是6人，有人估计是7人，那有没有估计是10个的？
生：不可能！
师：你能用“移多补少”的思路来解释一下为什么不可能吗？
生（在老师的帮助下）：因为10是套中的最多的个数，等会儿它肯定要移走一部分去补给少的。
师：那有没有可能是4个？
生（齐声）：不可能！
师：为什么也不可能是4呢？
生：因为4是这里面最小的数，等会儿肯定有多的数会补给它，到时候就一定会比4多了。
师：真了不起，在这里，4是这组数据中最小的，10是这组数据中最大的数，也就是说，一组数据的平均数，一定会在哪两个数之间？
生：最小数与最大数之间！
师：嗯！看来刚才同学的估计都是有道理的，现在谁看出来应该怎么移了吗？
生：将吴燕的两个移给刘晓娟，两个移给沈明芳，再将史敏敏的一个移给孙芸，如图3所示。
师：其实，移的方法还有很多种，但我们抓住一个原则，就是把多的移给少的，从而使得他们每个人套中的个数看上去都一样多，现在可以很容易地看出，女生套圈的平均数是多少？
生：6个。
师：这里的6表示什么意思？
生：表示女生平均每人套中6个。
过渡：同学们，刚才我们通过“移多补少”的方法，得到了男女生各自套圈的平均数，男生的整体水平是平均每个人能套中7个，女生的整体水平是平均每个人能套中6个，哪一方套得更准一些？（男生）我们是通过比较平均数判断出来的，除了用“移多补少”的方法以外，你还有其他方法来得到平均数吗？先来说说男生的套圈平均数。
生：我是用算的方法。6+9+7+6=28（cm），28÷4=7（cm）。
师：老师看到，你在第一步里，把所有的数据都加了起来，表示什么意思呢？
生：求出男生套圈的总个数。
师：哦，那为什么又要拿总个数除以4个呢？
生：因为有4个男生，就是平均分成4份。
师：说得真好，先求出套圈的总个数，再除以总人数，我们就可以求出平均每个男生套中的个数，从而找到平均数。在这里，我们先求和，再平均分，这种方法叫做“求和均分”。（板书：求和均分）
师：我们用“求和均分”的方法得出的答案也是7，和我们用“移多补少”方法得到的男生套圈平均数（齐声：相同），说明这种方法也是真实可行的，这里的7是哪几个数据的平均数呢？
生：6，9，7，6。
师：对，是6，9，7，6这4个数的平均数，谁能用“求和均分”的方法来算一算女生套圈的平均数？
生：10+4+7+5+4=30（cm），30÷5=6（cm）。
师：也请你来说说看第一步的意思？
生：先算出女生套圈个数的总和。
师：这里为什么要除以5了呢？
生：因为有5个女生，所以要除以5。
师：先算出女生套圈的总和，再平均分给5个女生，每个女生就平均套中了6个，是这个意思吗？
生：是的。
师：这里的6又是哪几个数的平均数？
生：10，4，7，5，4。
师：我们来看这两组算式，无论是在求男生平均数，还是在求女生平均数的时候，我们都是先求的什么？
生：他们套圈的总数？
师：我们可以将它概括为三个字，就是“求总数”，那求了总数之后，我们又做了什么呢？
生：有多少个人，就把总数分成多少份。
师：也可以用三个字来概括，就是“平均分”，现在谁能看着老师的提示，完整地来说一说，在用“求和均分”方法计算平均数的时候，我们要先做什么，再做什么？
生：在用“求和均分”方法计算平均数的时候，我们要先求总数，再平均分？
【设计意图：本节课学习两种方法来得到平均数，按照儿童认知是从形象到抽象的发展规律，教师先引导学生掌握“移多补少”的方法，通过数形结合的教学，让学生对平均数的概念有了较为深刻的认识。在学习“求和均分”的方法时，着重让学生知道我们应该先做什么（先求和），再做什么（平均数），要体现出数学的严谨和逻辑性。在用“移多补少”的方法得到平均数的过程中，让学生先估计的目的是使其明白平均数是有一定范围的，教学并不能仅满足于让学生知道平均数和求出平均数的方法，通过对方法的思想以及平均数概念的深刻挖掘，让学生发现平均数的一些特点，乃是从”学会“到”会学’的过渡。】
师：回顾一下刚才的套圈比赛，在参赛人数不同的时候，比总数的办法就显得不合适了，为了公平起见，我们通过什么方法比较？（平均数）的办法来判断出谁套的准？那我们是用哪些方法来找到平均数的呢？
生（齐声）：“移多补少”和“先合后分”。
师：有两种方法，你们比较喜欢哪一种方法呢？
生：“意见不统一。”
“会学”阶段
师：大家都别争了，请看这道题目（图4），“3个笔筒里各有一些铅笔，看看平均每个笔筒里有多少枝。”谁已经知道这道题目的答案是多少了？
[3个笔筒里各有一些铅笔，看看平均每个笔筒里有多少枝。][6枝 7枝 8枝]
生：6枝。
师：你怎么这么快就看出答案来了，你用得什么方法？
生：移多补少。
师：那你是怎么移的？
生：我把中间笔筒里的一枝笔移给最后一个笔筒，这样，每个笔筒里就有6枝笔了。
师：大家听明白了吗？（课件演示），有人用不同的方法吗？
生：我用的是先合后分的方法：6+7+5=18（枝），18÷3=6（枝）
师：在这道题目里，用哪种方法比较合适？
生：移多补少。
师：对！用这样方法可以更快更便捷地找到平均数。
师：再来看这一题。（笔筒的个数增加到5个，如图5）这道题你觉得用什么方法比较合适？
[9枝 7枝 2枝 5枝 12枝]
生：求和均分。
师：为什么？
生：因为笔筒的个数变多了，用“移多补少”的方法就有点不方便了。
师：恩，笔筒的个数变多了，而且最大的数据与最小的数据之间的差距也变大了，再用移多补少的方法就不方便了，请同学们用“求和均分”的方法算出平均每个笔筒里有多少支笔。
生：9+7+2+5+12=35（枝）35÷5=7（枝）
小结：看来，有的时候，并不能说一种方法一定比另一种方法好，关键是看在遇到实际问题的时候，我们到底选择哪一种方法更合适。
【设计意图：什么叫“学会”？会用两种方法求解平均数，什么叫“会学”呢？通过对这两种方法的理解，在遇到问题的时候，选择一种最优的方法去解决问题。笔者在这里适当改编了教材上的习题资源，引导学生用自己觉得最方便的办法去处理习题，再通过比较，让学生明白一个常理，没有最好的方法，只有最合适的方法。】
师：为了奖励同学们优异的表现，姚老师要奖励大家3条漂亮的彩带，请看这3条彩带，估一估，它们的平均长度是多少？
A.14 cm B.18 cm C.24 cm
生1：我选B。
生2：选B。
生3：选B。
师：怎么你们都选B呀，我猜是A选项，你们觉得有可能吗？
生：不可能。
师：那我猜13 cm（不可能），12 cm（不可能），10 cm（不可能）。
师：呀，怎么我都猜错了，照着我这个趋势去猜，能猜得对吗？（不能）那我应该怎么去猜？
生：猜比14大的数。
师：哦，那我猜C选项，有可能吗？
生：不可能。
师：那我重新猜是25 cm（不可能），26 cm（不可能），27 cm（不可能），像我这样猜，能猜得对吗？（不能），应该怎么猜？
生：猜比24小的数。
师：也是说，平均长度会在哪个范围内呢？
生：14 cm到24 cm之间。
师：换句话说，一组数据的平均数，一定会在哪两个数之间呢？
生：最小的数与最大的数之间。
师：哦，原来估计的时候要注意一定的范围，怪不得同学们一估就准，而我老是猜不对。
师：再来看下面的题（如图6），第三条彩带增加一厘米，平均长度将发生怎样的变化。
A.18 cm B.19 cm C.21 cm
生：我觉得C，21 cm。
师：你觉得平均长度发生改变，能说说为什么选C吗？
生：原来的平均长度是18 cm，现在增加3 cm，就是18+3=21 cm。
师：有不同意见吗？
生：我选B选项，题目上说的是第三条彩带增加3 cm，而不是平均长度增加3厘米，一条彩带增加3厘米，平均分给3条彩带，就是每一条增加1 cm，结果就是19 cm。
师：你们同意谁的说法？（第二位）到底他说得对不对，请你们赶紧动笔来验证一下。
请两位学生上台板书。
生1：14+24+19=57 cm，57÷3=19 cm。
师：这位同学用的是什么方法做的？
生（齐声）：求和均分。
师：对，先求出了丝带的总长度，再平均分成3份。我们再来看这位同学。
生2：3÷3=1 cm，18+1=19 cm。
师：他得到的答案也是19 cm，能看懂他的这种做法吗？
生：一条丝带增加3 cm，有3条丝带，相当于每条丝带增加3÷3=1 cm，也就是平均数增加1 cm，所以是18+1=19 cm。
师：看来的确是第二位同学说对了，而且说得还非常精彩，能不能用他的这种方法，来解决下面这道题目呢？
生：6÷3=2 cm，18-2=16 cm。
师：请你说不说你为什么这么列算式。
生：第一条彩带减少6 cm，有3条彩带，6÷3=2 cm，就是相当于平均每条彩带减少2 cm，所以再用18-2=16 cm。
小结：观察着三幅图，一开始，这3条丝带的平均长度是18厘米，接着我们每次都改变了其中一条丝带的长度，我们发现，平均数的长度（发生了变化），也就是说，如果我要使得平均数发生变化，只要改变其中几个数据就可以了？（一个）对！这三道题给我们一个启示，平均数非常的“善变”，只要其中的一个数据有一点“风吹草动”，平均数也会随之发生相应的变化。
【设计意图：这里笔者同样对书后习题做了适当改编，旨在让学生明白，只要一组数据中的一个数发生变化，平均数就会随之发生变化。将习题设计成选择题的形式，一是为了让学生再次强化认识“平均数具有一定范围”的知识，二是为了降低学生得到第二种方法的难度，形成一种“踮起脚就能够到苹果”的教育模型，部分“会学”的学生经过答案和图形的提示，意识到：在一个数据发生改变的时候，并不需要重新计算平均数，只需要在原来平均数的基础上做一些调整就行了，这种思路是学生智慧的闪现，也是其从“学会”到“会学”的转折过程。】
“爱学”阶段
师：除了“善变”的性质以外，平均数还有哪些有趣的特点呢，下面我们到生活中去体现一下。
师：看！，这些小朋友在干什么？
生：打篮球。
师：这些篮球队员的平均高度是多少？（160 cm）
师：李强是学校篮球队里的队员，他的身高是155厘米，有可能吗？
生：有可能。
师：怎么会有可能呢？不是说平均身高是160厘米吗？
生：因为它说的平均身高，并不是指每一个人的高度，可以有比160厘米矮的队员。
师：那学校篮球队可能有身高超过160厘米的队员吗？
生（齐声）：有可能！
师：对，篮球队里不可能每个人的身高都正好长得一样，而且，如果有身高高于160 cm的队员，那一定会有身高比160 cm矮的队员。
师：研究完了队员的身高问题，下面我们来看看池塘的平均水深。有一天，小明来到一条河边，他看见了河边的警示牌，请一位同学来读一读，（学生读：平均水深110 cm）小明想，平均水深110厘米，这也太浅了，我的身高是145厘米，我现在到河里去游泳，不会有危险，学习了今天的知识，你们觉得他想得对吗？
生1：不对！因为它说的是平均水深。
生2：不对，平均水深110厘米并不是说每一个地方都正好是深110厘米，有比110厘米深的地方，也有比110厘米浅的地方。
生3：不对，因为河底有可能是坑坑洼洼的，把河底高的地方填到低的地方中去，才使得水深是110厘米。
师：哎呀，你还知道河底是坑坑洼洼的，对于这么精彩的回答，连老师都忍不住要为你鼓掌了，现在我们看看河底的情况到底是不是坑坑洼洼的（见图7）。
[我身高145厘米，下水游泳不会有危险。][130 cm][50 cm][200 cm][70 cm][100 cm]
师：请个同学上来指一指，小明在哪里会遇到危险？
师：平均水深是110 cm，但是我们看到，在河底有的地方很浅，只有50 cm，有的地方很深，有200厘米，说明一组数据中，有些数据会与平均数相差很大，但在生活中需要用到平均数的时候，我们往往会把这些相差很大的数据去除，比如……（课件出示“你知道吗”）
“在演唱比赛中，每个评委都要为选手打分。计算选手的平均得分时，往往先要去掉一个最高分和一个最低分。这是为什么呢？”
师：想知道为什么吗？
生（齐声，响亮）：想。
继续出示：“由于每个评委的欣赏角度不同，每人给同一位选手打出的分数也就不同，这是正常的。去掉一个最高分和一个最低分，可以使最后的得分更加公平合理，更能代表选手的实际水平。”
师：图8是8位评委给一位歌手所打的成绩，了解了刚才所介绍的常识以后，你能算一算这位歌手的平均成绩是多少吗？
生：去掉一个最高分10分，去掉一个最低分3分，这位选手的平均得分是6+7+5+8+7+9=42（分），42÷6=7（分）。
小结：评委毕竟不是机器，再公正的评委，他都有自己的感情因素和欣赏角度，去掉一个最高分和最低分后，可以使得比赛更加公平。其实，平均数在生活中的应用还远远不止这些，它还有哪些有趣的性质，就等着同学们课后自己去发现，去探索了，下课！
【设计意图：这一过程的学习比较轻松，并不需要学生进行复杂的计算和高强度的思维运转，但要求学生对于平均数概念及其特点有较为深刻的掌握，通过介绍一些生活中涉及平均数的场景来综合性地体会、感悟平均数，学生的代入感很强。教师尽量创设一个宽松的环境，让学生围绕着这节课所学习的知识畅所欲言，教师只是从旁加以必要的修正和指导，在体现生本课堂教学理念的同时，为的是让学生学有所用，通过今天学习到的知识，解决了一些生活中自己也有可能遇到的问题，从而获得成功的喜悦，认识到数学的实用性和趣味性，建立起今后学好数学的信心，这便是教师们最愿意看到的“乐学”境界！整堂课以介绍了生活中常见的一则小知识为结尾，像这样的现象，生活中还有很多很多，在提出终身学习的概念之后，在教室里上课听讲早已不是学习的唯一途径，教师在下课前让学生自己去发现，探索在生活中平均数还有哪些有趣的性质和应用，所谓言有尽而意无穷，如果学生“学会”了课堂上所教学的知识，并且能做到“会学”和“乐学”，那么他在课后一定能得到更大的收获。】
（作者单位 江苏省苏州市浒墅关中心小学校）