例析函数概念典型问题

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在函数概念的题型中，关键要把握函数的概念，从而解决函数概念的不同的题型.需要特别注意的是，设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.需要特别注意的是函数的实质是从非空数集A到非空数集B 的一个特殊的对应.

一、函数的判断

例1 下列式子是否能确定y是x的函数：（1）x2+y2=2；（2） x-1+

y-1=1；

（3）y=x-2+

1-x.

分析：判断一个式子是否是y关于x的函数，就是判断使式子有意义的x的取值集合中，对于每一个y的值是否都有唯一确定的一个y值与之相对应，也可以由子解出y关于的解析式，看其是否唯一.

解：（1）由x2+y2=2得y=±2-x2，因此不能确定y是x的函数，如当x=1时，由她所确定的y值有±1两个.

（2）由

x-1+

y-1=1，得

y=（1-x-1）2+1，所以当x在{x|x≥1}中任意取一个值时，有唯一的一个y与之对应，故由它可以确定y是x的函数.

（3）由x-2≥0，

1-x≥0

得到x∈，故由它不能确定y是x的函数.

点评：抓住函数定义，也即对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，即一对一或多对一的判断方法来确定.

二、函数相等的判断

例2 判断下列各组中两个函数是否相等：（1）f （x）=x-1・

x+1，g（x）=x2-1；

（2）f（x）=2x2+1，g（t）=2t2+t+1.

分析：定义域和对应法则是函数的两个要素，当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，其才是相同函数.

解：（1）不相等，由于函数f （x）的定义域是{x|x≥1}，而函数g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤-1}.

（2）两个函数相等，因为它们的定义域及对应法则都相同.

点评：判断两个函数相等的一般步骤，分别求得已知函数的定义域，若其定义域相同，再看函数的对应法则是否相同，若对应法则也相同，则两个函数相等.

三、求一般函数的定义域

例3 （1）y=x2-1+

1-x2；（2）

y=

11+1/x.

分析：函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围，当一个函数有两个或两个以上的式子的和、差、积、商的形式构成时，其定义域是使各部分有意义的自变量的交集.

解：（1）要使函数有意义，则

x2-1≥0，

x2-1≤0，

即x2=1，则x=±1，因此函数的定义域为{1，-1}.

（2）要使函数有意义，则

x≠0，

1+1/x≠0，

即x≠0，

x+1≠0，

，所以x≠0且x≠-1，

因此函数的定义域为{x|x∈R，x≠0且x≠0}.

点评：求函数的定义域一般转化为解不等式或不等式组问题，注意函数的定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.

四、求函数值

例4 已知f （x）=

12-x

（x∈R，x≠2），

g（x）=x+4（x∈R），（1）求f （1）、g（1）的值；（2）求f（g（1））

、g（f （1））的值；（3）求

f （g（x））、g（f（x））的表达式.

分析：求函数值时，只需要将f （x）中的x用对应的值（包括代数式）代替即可.

解：（1）

f （1）=12-1

=1，g（1）=1+4=5.

（2） f（g（1））=f（5）=

12-5

=-13

，g（f（1））=g（1）=1+4=5；

（3）f（g（x））=f（x+4）=

12-（x+4）

=1-2-x；

（4）g（f（x））=g（12-x）

=12-x+4.

点评：当已知函数的解析式求函数值时，直接将自变量的值代入解析式中则可以求解，若自变量是以代数式的形式出现，则将代数式看做一个整体代替解析式中的自变量；当解析式含参变量时，先通过已知条件确定参量，再将自变量的值代入解析式中求值.

五、求函数的值域

例5 求下列函数的值域：（1）

y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}；（2）

y=x+1；

（3）y=x+2x-1；（4）

y=3x+2x-1 .

分析：求函数的值域方法很多，要根据具体的题型来确定一定的方法，如观察法、配方法、分离常数法.

解：（1）（观察法）由于y=2x+1，

x∈{1，2，3，4，5}，则可以得到y∈{3，5，7，9，11}.

（2）（观察法）由于

x≥0，则

x+1≥1，则函数的值域为[1，+∞].

（3）（换元法）令u=

2x-1，则u≥0，

x=u2+12，则

y=u2+12+u=

12（u+1）2≥

12，

则函数的值域为[1/2，+∞）.

（4）（分离常数法） y=

3x+2x-1=

3（x-1）+5x-1=

3+5x-1≠3，则函数的值域为{y|y≠3，y∈R}.

点评：在解决上述问题时，一定要根据函数的特征采取灵活不同的方法解决.